Question

[Edogawa Conan]

Tính E = 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³

Answer 1

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

Ta có : 1³ + 2³ + 3³ +..... + n³ 

= 1 + 1.2.3 + 2 + 2.3.4 + 3 + ..... + n(n + 1)(n + 2) + n

= (1 + 2 + 3 + ..... + n) + (1.2.3 + 2.3.4 + ..... + n(n + 1)(n + 2)

= \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}+\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}=\frac{2.n\left(n+1\right)}{4}+\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}\)

= \(\frac{3n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}\)

Answer 2

[kanzuki mizuki]

Viết lại bài toán cần chứng minh
13+23+33+..n3=(1+2+3+...+n)213+23+33+..n3=(1+2+3+...+n)2
Với n=1;n=2n=1;n=2 thì đẳng thức hiển nhiên đúng, hay chính là câu a,b đó 
Giả sử đẳng thức đúng với n=kn=k
Tức 13+23+33+...k3=(1+2+3+4..+k)213+23+33+...k3=(1+2+3+4..+k)2
Ta sẽ chứng minh nó đúng với n=k+1n=k+1
Viết lại đẳng thức cần chứng minh 13+23+33+...k3+(k+1)3=(1+2+3+4..+k+k+1)213+23+33+...k3+(k+1)3=(1+2+3+4..+k+k+1)2 (*)
Mặt khác ta có công thức tính tổng sau 1+2+3+4+...+n=n(n+1)21+2+3+4+...+n=n(n+1)2
⇒(1+2+3+4+...+n)2=(n2+n)24⇒(1+2+3+4+...+n)2=(n2+n)24
Vậy viết lại đẳng thức cần chứng minh
(k2+k)24+(k+1)3=(k2+3k+2)24(k2+k)24+(k+1)3=(k2+3k+2)24
⇔(k2+3k+2)2−(k2+k)2=4(k+1)3⇔(k2+3k+2)2−(k2+k)2=4(k+1)3
Bằng biện pháp "nhân tung tóe", đẳng thức cần chứng minh tuơng đuơng
⇔4k3+12k2+12k+4=4(k+1)3⇔4k3+12k2+12k+4=4(k+1)3
⇔4(k+1)3=4(k+1)3⇔4(k+1)3=4(k+1)3 ~