Question

[Nguyễn Anh Tuấn]

Tìm các cặp số nguyên x,y thỏa mãn:

a)4x²+4x=y³+y²+y
b)x⁴+2x²=y³

Answer 1

[Akai Haruma]

1.

PT $\Leftrightarrow 4x^2+4x+1=y^3+y^2+y+1$
$\Leftrightarrow (2x+1)^2=(y^2+1)(y+1)$
Gọi $d=(y^2+1, y+1)$
$\Rightarrow y^2+1\vdots d; y+1\vdots d$

$\Rightarrow y(y+1)-(y^2+1)\vdots d$ hay $y-1\vdots d$

$\Rightarrow (y+1)-(y-1)\vdots d\Rightarrow 2\vdots d$

$\Rightarrow d=1,2$

Nếu $d=2$ thfi $(2x+1)^2\vdots 2$ (vô lý do $2x+1$ lẻ)

$\Rightarrow d=1$

Tức là $(y^2+1, y+1)=1$. Mà tích của chúng là 1 scp nên mỗi số
 $y^2+1, y+1$ cũng là scp

Đặt $y^2+1=a^2; y+1=b^2$
$\Rightarrow (b^2-1)^2+1=a^2$

$\Leftrightarrow 1=a^2-(b^2-1)^2=(a-b^2+1)(a+b^2-1)$

$\Rightarrow a-b^2+1=a+b^2+1=1$ hoặc $a-b^2+1=a+b^2+1=-1$
Cả 2 TH đều suy ra $y=0$

$\Rightarrow 4x^2+4x=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=-1$

Answer 2

[Akai Haruma]

2.

$x^4+2x^2=y^3$

$\Leftrightarrow (x^2+1)^2=y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)$

Đặt $d=(y+1, y^2-y+1)$

$\Rightarrow y+1\vdots d; y^2-y+1\vdots d$

$\Rightarrow (y+1)^2-(y^2-y+1)\vdots d$

$\Rightarrow 3y\vdots d$

Nếu $d\vdots 3$ thì $x^2+1\vdots 3$. Điều này vô lý do 1 scp khi chia 3 dư 0 hoặc 1,

$\Rightarrow x^2+1$ khi chia cho $3$ dư $2$ hoặc $1$ (tức là không chia hết cho 3)

Do đó $d$ và $3$ nguyên tố cùng nhau. Khi đó từ $3y\vdots d$

$\Rightarrow y\vdots d$

Kết hợp với $y+1\vdots d\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$

$\Rightarrow (y+1, y^2-y+1)=1$. Mà tích của chúng là scp nên mỗi số
 $y+1, y^2-y+1$ cũng là scp

Đặt $y+1=a^2; y^2-y+1=b^2$ với $a,b\in\mathbb{N}$

Có:

$y^2-y+1=b^2$

$\Leftrightarrow (2y-1)^2+3=(2b)^2$

$\Leftrightarrow 3=(2b-2y+1)(2b+2y-1)$
Đây là dạng pt tích đơn giản và ta tìm được $y=0$ hoặc $y=1$

Thay vô pt ban đầu thì có cặp $(x,y)=(0,0)$