Question

[Đẹp Trai Không Bao Giờ Sai]

Cho \(\Delta ABC\) với G là trọng tâm. Một đường thẳng bất kì qua G cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Tính \(\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

A B C G M N P Q D

Gọi D là trung điểm BC, lần lượt kẻ BP và CQ song song MN

\(\Rightarrow AG=\frac{2}{3}AD\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{QCD}=\widehat{PBD}\left(slt\right)\\BD=DC\left(gt\right)\\\widehat{CDQ}=\widehat{PDQ}\left(dd\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta CDQ=\Delta BDP\Rightarrow DQ=DP\)

\(MG//BP\Rightarrow\frac{AB}{AM}=\frac{AP}{AG}=\frac{AD+DP}{AG}\)

\(GN//CQ\Rightarrow\frac{AC}{AN}=\frac{AQ}{AG}=\frac{AD-DQ}{AG}\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{AD+DP+AD-DQ}{AG}=\frac{2AD}{AG}=\frac{2AD}{\frac{2}{3}AD}=3\)