Question

[Bích Đào Thị Ngọc]

mình đang học chuyên đề về đa thức thì thấy có cái định lý này:
 Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì f(1) a - 1 và f(-1) a + 1 đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do 
mình đọc câu này hoài mà không hiều, ai giải thích giúp đi

Answer 1

[Đặng Quỳnh Ngân]

a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(a) = 0

còn x = -1;1 k phải là nghiệm nên f(-1);f(1) khác 0

bn thay x = a (đk nguyêm) ; = 1; =1 vào là tìm dc

Answer 2

[Băng Dii~]

Trước hết bạn nên nhớ tính chất này (được suy ra từ định lí Bê - du hay ng` ta thường gọi nó là hệ quả của đlí Bê - du) 

Nếu đa thức f(x) có a là nghiệm thì khi phân tích ra nhân tử, f(x) chắc chắn có một thừa số là x - a 

Cái này rất dễ chứng minh, bạn dựa Bê - du: " Số dư trong phép chia f(x) cho x - a đúng bằng f(a)" 

Khi a là nghiệm của f(x) thì f(a) = 0 \Rightarrow f(x) chia hết cho x - a \Rightarrow f(x) = (x - a). B(x) 

Bây giờ đến phần chứng minh phần chính của định lí nghiệm đa thức : Nghiệm nguyên của đa thức(nếu có) phải là ước của hệ số tự do. 

Thật vậy giả sử đa thức aoxn+a1xn−1+a2xn−2+...+an−1.x+anaoxn+a1xn−1+a2xn−2+...+an−1.x+an với các hệ số a0→an∈Za0→an∈Z, có nghiệm x = a (a∈Z)(a∈Z) 

Thế thì cần chứng minh a là ước của anan 

Thật vậy: Theo hệ quả của định lí Bê - du ta có : 

aoxn+a1xn−1+a2xn−2+...+an−1.x+an=(x−a)(b0xn−1+b1xn−2+b2xn−3+...+bn−1)aoxn+a1xn−1+a2xn−2+...+an−1.x+an=(x−a)(b0xn−1+b1xn−2+b2xn−3+...+bn−1) 
trong đó b0→bn−1∈Zb0→bn−1∈Z

Hạng tử bậc thấp nhất ở VP là −a.bn−1−a.bn−1, hạng tử bậc thấp nhất VT là anan 

Do vậy nếu đồng nhất 2 đa thức trên ta sẽ có : 

−abn−1=an−abn−1=an tức là a là ước số của anan

không hiểu chỗ nào thì hỏi mình .