Question

[Hải Lục Vũ]

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+x+y=8\\2x^2+y^2-3xy+3x-2y+1=0\end{matrix}\right.\) giải hệ phương trình

Answer 1

[Lê Song Phương]

pt thứ hai \(\Leftrightarrow\) \(y^2-\left(3x+2\right)y+2x^2+3x+1=0\) (*)

Ta có \(\Delta=\left[-\left(3x+2\right)\right]^2-4\left(2x^2+3x+1\right)\)

\(=9x^2+12x+4-8x^2-12x-4\)

\(=x^2\ge0\) 

Do đó (*) có 2 nghiệm là \(\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3x+2+\sqrt{x^2}}{2}=\dfrac{3x+2+\left|x\right|}{2}\\y=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3x+2-\sqrt{x^2}}{2}=\dfrac{3x+2-\left|x\right|}{2}\end{matrix}\right.\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge0\). Khi đó:

\(\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{3x+2+x}{2}=\dfrac{4x+2}{2}=2x+1\\y=\dfrac{3x+2-x}{2}=\dfrac{2x+2}{2}=x+1\end{matrix}\right.\)

Nếu \(y=2x+1\) thì thay vào pt đầu tiên, ta có:

\(x^2+\left(2x+1\right)^2+x+2x+1=8\)

\(\Leftrightarrow5x^2+7x-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{5}\left(nhận\right)\\x=-2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=2x+1=2.\dfrac{3}{5}+1=\dfrac{11}{5}\)

Nếu \(y=x+1\) thì thế vào pt đầu tiên, ta có:

\(x^2+\left(x+1\right)^2+x+x+1=8\)

\(\Leftrightarrow2x^2+4x-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(nhận\right)\\x=-3\left(loại\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=x+1=1+1=2\)

 Vậy ta tìm được 2 cặp nghiệm là \(\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{11}{5}\right)\) và \(\left(1,2\right)\)

 Tương tự như vậy, xét TH \(x< 0\) thì ta tìm được thêm 2 cặp nghiệm chính là \(\left(-2,-3\right)\) và \(\left(-3,-2\right)\)

Answer 2

[Luu Quynh Anh]

phương trình thứ 2 dấu = ở đâu vậy ạ