Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) đkxđ \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\y\ge0\end{matrix}\right.\)
Xét biểu thức \(P=x^3+y^3+7xy\left(x+y\right)\)
\(P=\left(x+y\right)^3+4xy\left(x+y\right)\)
\(P\ge4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh \(4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\ge8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\) (*)
Thật vậy, (*)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge2\sqrt{2xy\left(x^2+y^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^4\ge8xy\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\) (**)
Áp dụng BĐT Cô-si, ta được:
VT(**) \(=\left(x^2+y^2\right)^2+4x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\)\(=\) VP(**)
Vậy (**) đúng \(\Rightarrowđpcm\). Do đó, để đẳng thức xảy ra thì \(x=y\).
Thế vào pt đầu tiên, ta được \(\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\left(x-3\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\end{matrix}\right.\)
Rõ ràng với \(x\ge\dfrac{3}{2}\) thì \(\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2.3}{2}-3}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}}< 2\) nên ta chỉ xét TH \(x=3\Rightarrow y=3\) (nhận)
Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(3;3\right)\)
đk: \(\hept{\begin{cases}x\ge\frac{3}{2}\\y\ge\frac{3}{2}\end{cases}}\)
Xét y = 0 => PT vô nghiệm
Xét y khác 0:
Ta có: \(x^3+y^3-8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+7x^2y+7xy^2=0\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+7xy\left(x+y\right)=8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x^3+y^3\right)}{y^3}+\frac{7xy\left(x+y\right)}{y^3}=\frac{8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{y^3}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}\right)^3+1+7\cdot\frac{x}{y}\cdot\left(1+\frac{x}{y}\right)=8\cdot\frac{x}{y}\cdot\sqrt{2+2\left(\frac{x}{y}\right)^2}\)
Đặt \(\frac{x}{y}=t>0\) khi đó: \(PT\Leftrightarrow t^3+1+7t\left(1+t\right)=8t\sqrt{2\left(1+t^2\right)}\)
\(=\left[8t\sqrt{2\left(1+t\right)^2}-8t\left(t+1\right)\right]+8t\left(t+1\right)\)
\(\Leftrightarrow t^3-t^2-t+1=8t\cdot\frac{2\left(1+t^2\right)-\left(t+1\right)^2}{\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t+1}\)
\(\Leftrightarrow t^2\left(t-1\right)-\left(t-1\right)=8t\cdot\frac{2+2t^2-t^2-2t-1}{\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2\left(t+1\right)=8t\cdot\frac{\left(t-1\right)^2}{\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2\left[t+1-\frac{1}{\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t+1}\right]=0\)
Mà \(t+1-\frac{1}{\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t+1}=\frac{t\left(\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t+1\right)+\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t}{\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t+1}>0\)
\(\Rightarrow t-1=0\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow\frac{x}{y}=1\Rightarrow x=y\)
Khi đó \(\sqrt{y}-\sqrt{2x-3}+2x=6\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-\sqrt{2x-3}=6-2x\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-2x+3}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}}=2\left(3-x\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{3-x}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}}=2\left(3-x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(2-\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}}\right)=0\)
Nếu \(2-\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}}=2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{\frac{13}{2}-2x}{2}\) (CMT)
\(\Leftrightarrow4\sqrt{x}=13-4x\)
\(\Leftrightarrow16x=169-104x+16x^2\)
\(\Leftrightarrow16x^2-120x+169=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=\frac{15+2\sqrt{14}}{4}\\x=y=\frac{15-2\sqrt{14}}{4}\end{cases}}\)
Nếu \(x-3=0\Rightarrow x=y=3\)
Vậy ta có 3 cặp số (x;y) thỏa mãn: ...
Thử lại ta thấy cặp nghiệm vô tỉ:
\(x=y=\frac{15\pm2\sqrt{14}}{4}\) không thỏa mãn nên ta chỉ có 1 cặp nghiệm thỏa mãn:
\(x=y=3\)