TT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NK
3
1 tháng 2 2021
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(x^2+1\ge2x\) ; \(y^2+1\ge2y\) ; \(z^2+1\ge2z\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
Hoặc có thể biến đổi thành BĐT cần CM tương đương:
\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi: x = y = z = 1
1 tháng 2 2021
x2 + y2 + z2 + 3 ≥ 2( x + y + z )
<=> x2 + y2 + z2 + 3 ≥ 2x + 2y + 2z
<=> x2 + y2 + z2 + 3 - 2x - 2y - 2z ≥ 0
<=> ( x2 - 2x + 1 ) + ( y2 - 2y + 1 ) + ( z2 - 2z + 1 ) ≥ 0
<=> ( x - 1 )2 + ( y - 1 )2 + ( z - 1 )2 ≥ 0 ( đúng )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z = 1
26 tháng 10 2018
Sửa đề: CMR: Với mọi số thực x,y,z luôn có:
\(\left|x+y-z\right|+\)\(\left|y+z-x\right|+\)\(\left|x+z-y\right|+\)\(\left|x+y+z\right|\)\(\ge2\left(\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\right)\)
18 tháng 4 2019
Ta có: \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\left(1+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}\)
\(=2+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
Ta chứng minh bất đẳng thức :
\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Vì x, y, z đóng vai trò như nhau nên ta chứng minh bất đẳng thức phụ:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Xét:
\(3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)=\left(\frac{2x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{2y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{2z}{x}+\frac{x}{y}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{2x}{y}+\frac{y}{z}=\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{x.x.y}{y.y.z}}=3\sqrt[3]{\frac{x.x.x}{xyz}}=3\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Tương tự như thế ta có:
\(3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\ge3.\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}+3\frac{y}{\sqrt[3]{xyz}}+3\frac{z}{\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Như vậy:
\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
=> \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\ge2+\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Dấu "=" khi x=y=z
18 tháng 4 2019
Câu hỏi của Incursion_03 - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
26 tháng 11 2016
Đặt \(a=x+y,b=y+z,c=z+x\)
Khi đó nếu P = Q tức là \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\)
Từ đó bạn suy ra nhé ! ^^
7 tháng 7 2023
Phân tích vế trái ta được: 2(x2 + y2 + z2 − (xy + yz + zx)
Phân tích vế phải ta được: 6(x2 + y2 + z2 − (xy + yz + zx)
Vì VT = VP nên VP - VT=0
→ 4(x2 + y2 + z2 − (xy + yz + zx)) = 0
→2(2 (x2 + y2 + z2 − (xy + yz + zx))) = 0
→2((x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2) = 0
→(x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 = 0
→(x − y)2 = 0; (y − z)2 = 0; (z − x)2 = 0
→x = y = z
có \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)
=>`x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2>=0`
`<=>2x^2+2y^2+2z^2>=2xy+2yz+2zx`
`<=>x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx`
dấu ''='' xảy ra khi
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(z-x\right)^2=0\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}x=y\\y=z\\x=z\end{matrix}\right.< =>x=y=z\)