NK
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TT
1
NH
26 tháng 9 2023
có \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)
=>`x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2>=0`
`<=>2x^2+2y^2+2z^2>=2xy+2yz+2zx`
`<=>x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx`
NH
26 tháng 9 2023
dấu ''='' xảy ra khi
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(z-x\right)^2=0\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}x=y\\y=z\\x=z\end{matrix}\right.< =>x=y=z\)
18 tháng 4 2019
Ta có: \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\left(1+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}\)
\(=2+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
Ta chứng minh bất đẳng thức :
\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Vì x, y, z đóng vai trò như nhau nên ta chứng minh bất đẳng thức phụ:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Xét:
\(3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)=\left(\frac{2x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{2y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{2z}{x}+\frac{x}{y}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{2x}{y}+\frac{y}{z}=\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{x.x.y}{y.y.z}}=3\sqrt[3]{\frac{x.x.x}{xyz}}=3\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Tương tự như thế ta có:
\(3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\ge3.\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}+3\frac{y}{\sqrt[3]{xyz}}+3\frac{z}{\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Như vậy:
\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
=> \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\ge2+\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Dấu "=" khi x=y=z
18 tháng 4 2019
Câu hỏi của Incursion_03 - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 7 2021
\(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2+4xy+8y^2}+\sqrt{4y^2+4yz+8z^2}+\sqrt{4z^2+4zx+8x^2}\ge4\left(x+y+z\right)\)
Ta có:
\(VT=\sqrt{\left(2x+y\right)^2+\left(\sqrt{7}y\right)^2}+\sqrt{\left(2y+z\right)^2+\left(\sqrt{7}z\right)^2}+\sqrt{\left(2z+x\right)^2+\left(\sqrt{7}x\right)^2}\)
\(VT\ge\sqrt{\left(2x+y+2y+z+2z+x\right)^2+\left(\sqrt{7}x+\sqrt{7}y+\sqrt{7}z\right)^2}\)
\(VT\ge\sqrt{16\left(x+y+z\right)^2}=4\left(x+y+z\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 7 2021
BĐT Mincopxki:
\(\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{y^2+b^2}+\sqrt{z^2+c^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\)
NT
4
6 tháng 4 2017
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3-2x-2y-2z\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-2z+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
XO
17 tháng 8 2021
Ta có : \(27xyz\le\left(x+y+z\right)^3\)
<=> \(\left(x+y+z\right)^3-27xyz\ge0\)
<=> (x + y)3 + 3(x + y)z(x + y + z) + z3 - 27xyz \(\ge0\)
=> x3 + y3 + 3xy(x + y) + 3(x + y)z(x + y + z) + z3 - 27xyz \(\ge\)0
<=> (x3 + y3 + z3) + 3(x + y)[xy + z(x + y + z)] - 27xyz \(\ge0\)
<=> (x3 + y3 + z3) + 3(x + y)(y + z)(z + x) - 27xyz \(\ge0\)
mà x + y \(\ge2\sqrt{xy}\)
Thật vậy x + y \(\ge2\sqrt{xy}\)
=> (x + y)2 \(\ge\)4xy
<=> x2 - 2xy + y2 \(\ge\) 0
<=> (x - y)2 \(\ge\)0 (đúng \(\forall x;y>0\))
Tương tự ta được y + z \(\ge2\sqrt{yz}\)
z + x \(\ge2\sqrt{xz}\)
Khi đó 3(x + y)(y + z)(z + x) \(\ge3.2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=24xyz\)(dấu "=" xảy ra khi x = y = z)
=> (x3 + y3 + z3) + 3(x + y)(y + z)(z + x) - 27xyz \(\ge0\)
<=> (x3 + y3 + z3) + 24xyz - 27xyz \(\ge0\)
<=> x3 + y3 + z3 - 3xyz \(\ge0\)
<=> (x + y + z)[(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2] \(\ge\)0 (đúng)
=> ĐPCM
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 6 2020
\(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2009}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{2007}{xy+yz+zx}\)
\(P\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}+\frac{2007}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}\)
\(P\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{6021}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{6030}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{6030}{3^2}=670\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
OV
16 tháng 6 2020
Áp dụng BĐT Côsi dưới dạng engel, ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}\)
⇒\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(x+y+z\right).\frac{9}{x+y+z}\) = 9
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(x^2+1\ge2x\) ; \(y^2+1\ge2y\) ; \(z^2+1\ge2z\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
Hoặc có thể biến đổi thành BĐT cần CM tương đương:
\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi: x = y = z = 1
x2 + y2 + z2 + 3 ≥ 2( x + y + z )
<=> x2 + y2 + z2 + 3 ≥ 2x + 2y + 2z
<=> x2 + y2 + z2 + 3 - 2x - 2y - 2z ≥ 0
<=> ( x2 - 2x + 1 ) + ( y2 - 2y + 1 ) + ( z2 - 2z + 1 ) ≥ 0
<=> ( x - 1 )2 + ( y - 1 )2 + ( z - 1 )2 ≥ 0 ( đúng )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z = 1