Cho x,y,z>0. Chứng minh rằng:\(\left(\frac{x}{x+y}\right)^2+\left(\frac{y}{y+z}\right)...

\(\left(\frac{x}{x+y}\right)^2+\left(\frac{y}{y+z}\right)...">

K

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Mua vip

PB

Phong Bùi

15 tháng 7 2017 - olm

Cho x,y,z>0. Chứng minh rằng:

\(\left(\frac{x}{x+y}\right)^2+\left(\frac{y}{y+z}\right)^2+\left(\frac{z}{z+x}\right)^2\ge\frac{3}{4}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

ND

nguyen duc tuan

24 tháng 12 2017

ghhjkkkk

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

肖赵战颖

12 tháng 3 2021 - olm

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=3\)

Chứng minh rằng: \(\frac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}+\frac{1}{\left(2y+z+x\right)^2}+\frac{1}{\left(2z+x+y\right)^2}\ge\frac{3}{16}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

0

NP

Nguyễn Phan Minh Thư

1 tháng 3 2015 - olm

Cho x,y,z>0. Cmr \(\frac{x^3}{\left(y+2z\right)^2}+\frac{y^3}{\left(z+2x\right)^2}+\frac{z^3}{\left(x+2y\right)^2}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{9}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

7 tháng 9 2024

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{x^3}{(y+2z)^2}+\frac{y+2z}{27}+\frac{y+2z}{27}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3}{(y+2z)^2}.\frac{y+2z}{27}.\frac{y+2z}{27}}=\frac{x}{3}$

$\frac{y^3}{(z+2x)^2}+\frac{z+2x}{27}+\frac{z+2x}{27}\geq \frac{y}{3}$

$\frac{z^3}{(x+2y)^2}+\frac{x+2y}{27}+\frac{x+2y}{27}\geq \frac{z}{3}$

Cộng theo vế các BĐT trên và thu gọn thì:
$\sum \frac{x^3}{(y+2z)^2}+\frac{x+y+z}{9}\geq \frac{x+y+z}{3}$

$\Rightarrow \sum \frac{x^3}{(y+2z)^2}\geq \frac{2}{9}(x+y+z)$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$

PT

Phạm Thuỳ Linh

13 tháng 7 2016 - olm

Cho x,y,z là 3 số dương. Chứng minh:

\(\frac{\left(x+y\right)^2}{z}\)+\(\frac{\left(y+z\right)^2}{x}\)+\(\frac{\left(x+z\right)^2}{y}\)\(\ge\)4x+4y+4z

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

0

U

•๖ۣۜUηĭɗεηтĭƒĭεɗ

8 tháng 8 2019

Chứng minh rằng: \(\frac{x^2-y^2}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}+\frac{y^2-z^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{z^2-x^2}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}=\frac{x-y}{x+y}+\frac{y-z}{y+z}+\frac{z-x}{z+x}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

0

YS

Yuri Sweet[𝕿𝖊𝖆𝖒 𝕹𝖊𝖕𝖆𝖑]

28 tháng 8 2021 - olm

Cho x,y,z>0 thỏa mãn \(x+y+z\le1\). Chứng minh rằng :

\(17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge35\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

2

MA

Mai Anh Nguyen

28 tháng 8 2021

Áp dụng BĐT BSC và BĐT Cosi:

\(17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\ge17\left(x+y+z\right)+\frac{2.\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\)

\(=17\left(x+y+z\right)=\frac{18}{x+y+z}\)

\(=17\left(x+y+z\right)=\frac{17}{x+y+z}+\frac{1}{x+y+z}\)

\(\ge2\sqrt{17\left(x+y+z\right).\frac{17}{x+y+z}}+\frac{1}{1}\)

\(=35\)

\(\Rightarrow17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge35\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

LD

l҉o҉n҉g҉ d҉z҉

28 tháng 8 2021

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM kết hợp giả thiết x + y + z ≤ 1 ta có :

\(17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=17x+17y+17z+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}\)

\(=\left(18x+\frac{2}{x}\right)+\left(18y+\frac{2}{y}\right)+\left(18z+\frac{2}{z}\right)-\left(x+y+z\right)\)

\(\ge2\sqrt{18x\cdot\frac{2}{x}}+2\sqrt{18y\cdot\frac{2}{y}}+2\sqrt{18z\cdot\frac{2}{z}}-1=12\cdot3-1=35\)( đpcm )

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1/3

VT

Võ Trà Giang

28 tháng 8 2017 - olm

a , cho x,y,z >0 ; xyz =1

CMR: \(\frac{x^3}{\left(1+y\right).\left(1+z\right)}\)+\(\frac{y^3}{\left(1+z\right).\left(1+x\right)}\)+\(\frac{z^3}{\left(1+x\right).\left(1+y\right)}\ge\frac{3}{4}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

4

TL

Tiểu Linh

29 tháng 8 2017

cha ôi rk mà cx ko bt

LH

lưu hoàng hiệp

3 tháng 10 2017

khó vcl

DN

Đinh Nguyễn Phương Thảo

20 tháng 6 2017 - olm

\(\)Nếu \(z\ge y\ge x>0\)thì \(y\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)+\frac{1}{y}\left(x+z\right)\le\left(x+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

TH

Trịnh Hữu An

20 tháng 6 2017

Xét vế 1 ta có: \(\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}\) \(=\frac{yz+yx}{xz}+\frac{z+x}{y}\)

\(=\frac{y^2z+y^2x+x^2z+xz^2}{xyz}\)nhóm hạng tử 1 với 4,2 với 3 trên tử ta được:

\(=\frac{z\left(y^2+xz\right)+x\left(y^2+xz\right)}{xyz}\)\(=\frac{\left(z+x\right)\left(y^2+xz\right)}{xyz}=\frac{z+x}{zx}\times\frac{y^2+xz}{y}\)(1);

Xét vế 2 ta có: \(=1+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+1=2+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\)nhân 2 đa thức với nhau:

\(=\frac{2xz}{xz}+\frac{x^2+z^2}{xz}\)\(=\frac{x^2+2xz+z^2}{xz}\)\(=\frac{\left(x+z\right)^2}{xz}=\frac{z+x}{xz}\times\frac{z+x}{1}\)(2)

Từ (1) và (2),ta có: vế 1 = vế 1; mà\(\frac{y^2+xz}{y}< y+\frac{xz}{y}< x+z\)

Suy ra điều phải chứng minh...

BT

bùi thị thùy linh

29 tháng 11 2019

bài 1:chứng minh rằng: \(\frac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\frac{x-y}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}=\frac{2}{x-y}+\frac{2}{y-z}+\frac{2}{z-x}\) bài 2:cho m+n=1;m*n khác 0 chứng minh: \(\frac{m}{n^3-1}+\frac{n}{m^3-1}=\frac{2\left(m-n-2\right)}{m^2\cdot n^2+3}\) bài 3 cho a,b,c thỏa a*b*c=2013 chứng minh: \(\frac{2013a}{ab+2013a+2013}+\frac{b}{bc+b+2013}+\frac{c}{ac+c+1}=1\) bài 4:Tìm A,B,C...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

BT

bùi thị thùy linh

29 tháng 11 2019

mik đag cần gấp các bn giải nhanh dùm mik nha

TB

Trần Bảo Hân

16 tháng 6 2020

a) CMR: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right).\left(x+y+z\right)>=9\) với mọi x, y, z >0

b) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z <= 3

Chứng minh rằng: \(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2009}{xy+yz+zx}>=670\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

2

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

17 tháng 6 2020

\(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2009}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{2007}{xy+yz+zx}\)

\(P\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}+\frac{2007}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}\)

\(P\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{6021}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{6030}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{6030}{3^2}=670\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

OV

Oz Vessalius

16 tháng 6 2020

Áp dụng BĐT Côsi dưới dạng engel, ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}\)

⇒\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(x+y+z\right).\frac{9}{x+y+z}\) = 9

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z