Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: m - 1 2 ≥ 0; n - 1 2 ≥ 0
⇒ m - 1 2 + n - 1 2 ≥ 0
⇔ m 2 – 2m + 1 + n 2 – 2n + 1 ≥ 0
⇔ m 2 + n 2 + 2 ≥ 2(m + n)
\(m^3+n^3+p^3-3mnp=\left(m^3+3m^2n+3mn^2+n^3\right)+p^3-3mnp-3m^2n-3mn^2=\left(m+n\right)^3+p^3-3mn\left(m+n+p\right)\)
\(=\left(m+n+p\right)\left[\left(m+n\right)^2-\left(m+n\right)p-p^2\right]-3mn\left(m+n+p\right)\)
\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+2mn+n^2-mp-np-p^2\right)-3mn\left(m+n+p\right)\)
\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+2mn+n^2-mp-np-p^2-3mn\right)\)
\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-mn-np-mp\right)\)
\(m^3+n^3+p^3-3nmp\)
\(=\left(m+n\right)^3+p^3-3mn\left(m+n\right)-3mnp\)
\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+2mn+n^2-pm-pn+p^2\right)-3mn\left(m+n+p\right)\)
\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-pm-pn-mn\right)\)
\(\left(2-n\right)\left(n^2-3n+1\right)+n\left(n^2+12\right)+8\)
\(=2n^2-6n+2-n^3+3n^2-n+n^3+12n+8\)
\(=5n^2+5n+10\)
\(=5\left(n^2+n+2\right)⋮5\) (đpcm)
a: \(\left(n+3\right)^2-n^2=\left(n+3+n\right)\left(n+3-n\right)\)
\(=3\left(2n+3\right)⋮3\)
b: Đặt A=\(\left(n-5\right)^2-n^2\)
\(A=\left(n-5\right)^2-n^2\)
\(=n^2-10n+25-n^2\)
\(=-10n+25=5\left(-2n+5\right)⋮5\)
\(A=\left(n-5\right)^2-n^2\)
\(=-10n+25\)
\(-10n⋮2;25⋮̸2\)
=>-10n+25 không chia hết cho 2
=>A không chia hết cho 2
(n + 3)² - n² = n² + 6n + 9 - n²
= 6n + 9
= 3(3n + 3) ⋮ 3
Vậy [(n + 3)² - n²] ⋮ 3 với mọi n ∈ ℕ
--------
(n - 5)² - n² = n² - 10n + 25 - n²
= -10n + 25
= -5(2n - 5) ⋮ 5
Do -10n ⋮ 2
25 không chia hết cho 2
⇒ -10n + 25 không chia hết cho 2
Vậy [(n - 5)² - n²] ⋮ 5 và không chia hết cho 2 với mọi n ∈ ℕ
\(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\\ \Leftrightarrow\left(m^2+2m+1\right)+\left(n^2+2n+1\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(m+1\right)^2+\left(n+1\right)^2\ge0\forall m,n\)
\(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)< =>m^2+n^2+2-2m-2n\ge0\)
\(< =>m^2-2m+1+n^2-2n+1\ge0\)
\(< =>\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng \(\forall m,n\))
dấu'=' xảy ra<=>m=n=1
vậy \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)
Bổ sung: $m,n$ là hai số không âm
$m^2+n^2+2\\=(m^2+1)+(n^2+1)$
Áp dụng BĐT Cô si với các số dương
$m^2+1\ge 2\sqrt{m^2.1}=2m\\n^2+1\ge 2\sqrt{n^2.1}=2n$
Cộng các vế của BĐT
$\Rightarrow m^2+1+n^2+1\ge 2m+2n\\\Leftrightarrow m^2+n^2+2\ge 2(m+n)$
$\Rightarrow $ Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases}m^2=1\\n^2=1\end{cases}$
Mà $m,n$ là hai số dương
$\Rightarrow m=n=1$
Vậy BĐT được chứng minh
\(\left(n-1\right)^2\cdot\left(n+1\right)+\left(n^2-1\right)\)
\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-1+1\right)\)
\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮6\)
Ta có:
m2-2m+1+n2-2n+1
=(m-1)2+(n-1)2>0
Đpcm
Dễ thui Ta có: 2 = 2 mà đây là tổng
=> đẳng thức trên lớn hơn 2
Bừa hìhif