Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng \(\frac{x}{y}>\frac{x}{y+m}\) ( x,y,m là số tự nhiên lớn hơn 0)
Ta có \(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\forall a,b,c dương\)
\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{b+c+a}\forall a,b,c dương\)
\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{c+a+b}\forall a,b,c dương\)
=> \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+b}\)
=> \(A>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
Vậy A>1
Không mất tính tổng quát, giả sử a \(\ge\)b
\(\Rightarrow\) a = b + m ( m \(\ge\)0 )
Ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}\)
\(=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m+b}{b+m}=1+1=2\)
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Dấu " = " chỉ xảy ra \(\Leftrightarrow\) m = 0 \(\Leftrightarrow\)a = b
Ta có: \(\frac{a}{b}>0\Rightarrow\) a và b cùng dấu \(\Rightarrow\frac{b}{a}>0\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{b}=\frac{b}{a}\Leftrightarrow a^2=b^2\Leftrightarrow a=b\)
bạn giải rõ cho mình với...mình cầu xin bạn đó Nguyễn Thị Hương
Giải
\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
\(\Leftrightarrow S=\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow S=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)
Mà \(\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge2\); \(\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge2\); \(\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\ge2\)
\(\Leftrightarrow S\ge2+2+2\)
\(\Leftrightarrow S\ge6\left(đpcm\right)\)
Bài 1 :
Từ \(\frac{1}{4}< \frac{1}{3}\) suy ra \(\frac{1}{4}< \frac{1+1}{4+3}< \frac{1}{3}\) hay \(\frac{1}{4}< \frac{2}{7}< \frac{1}{3}\)
Từ \(\frac{1}{4}< \frac{2}{7}\)suy ra \(\frac{1}{4}< \frac{1+2}{4+7}< \frac{1}{3}\)hay \(\frac{1}{4}< \frac{3}{11}< \frac{1}{3}\)
Từ \(\frac{2}{7}< \frac{1}{3}\)suy ra \(\frac{2}{7}< \frac{2+1}{7+3}< \frac{1}{3}\)hay \(\frac{2}{7}< \frac{3}{10}< \frac{1}{3}\)
Vậy ta có : \(\frac{1}{4}< \frac{3}{11}< \frac{2}{7}< \frac{3}{10}< \frac{1}{3}\)
Chúc bạn học tốt ( -_- )
Bài 2 :
\(\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+c}\left(1\right)\)
\(\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{b}{b+d}\left(2\right)\)
\(\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a}< \frac{c}{c+a}\left(3\right)\)
\(\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{d+a+b}< \frac{d}{d+b}\left(4\right)\)
Cộng ( 1 ), ( 2 ) , (3 ) và ( 4 ) theo từng vế ta được :
\(1=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}\)\(+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{a+c}{a+c}+\frac{b+d}{b+d}\)
Chúc bạn học tốt ( -_- )
1 ) Vì b + c + a > b => \(\frac{a}{b}>\frac{a}{b+c+a}\)
2 ) Ta có :
\(\frac{a}{b}>\frac{a}{b+c+a}\)
\(\frac{b}{c}>\frac{b}{b+c+a}\)
\(\frac{c}{a}>\frac{c}{b+c+a}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}>\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{b+c+a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\) (ddpcm)
Bài làm:
Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng cộng mẫu (bạn có thể tham khảo các tài liệu để biết cách chứng minh)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{1+a+1+b+1+c}=\frac{3^2}{3+a+b+c}\ge\frac{3^2}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{1}{1+a}=\frac{1}{1+b}=\frac{1}{1+c}\Rightarrow a=b=c=1\)
Vậy Min biểu thức bằng \(\frac{3}{2}\)khi \(a=b=c=1\)
Chúc bạn học tốt!
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Biến đổi vế 2 :
\(\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}+\frac{ab}{abc}\)( quy đồng )
\(=\frac{bc+ac+ab}{abc}\)
Ta có :
\(=\frac{\left(a+b+c\right)\left(bc+ac+ab\right)}{abc}\)
\(=\frac{abc+abc+abc}{abc}\)\(=3\)
→ ( a + b + c ) = 3
Ta có : 3 . 3 = 9 => ĐPCM