Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Gọi d = ƯCLN(n+1; 2n+3) (d thuộc N*)
=> n + 1 chia hết cho d; 2n + 3 chia hết cho d
=> 2.(n + 1) chia hết cho d; 2n + 3 chia hết cho d
=> 2n + 2 chia hết cho d; 2n + 3 chia hết cho d
=> (2n + 3) - (2n + 2) chia hết cho d
=> 2n + 3 - 2n - 2 chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
Mà d thuộc N* => d = 1
=> ƯCLN(n+1; 2n+3) = 1
=> đpcm
Câu b và c lm tương tự
Chú ý: Câu b sẽ ra 2 chia hết cho d => d thuộc {1 ; 2} nhưng do 2n+3 lẻ => d = 1
a) Gọi d = ƯCLN(n+1; 2n+3) (d thuộc N*)
=> n + 1 chia hết cho d; 2n + 3 chia hết cho d
=> 2.(n + 1) chia hết cho d; 2n + 3 chia hết cho d
=> 2n + 2 chia hết cho d; 2n + 3 chia hết cho d
=> (2n + 3) - (2n + 2) chia hết cho d
=> 2n + 3 - 2n - 2 chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
Mà d thuộc N* => d = 1
=> ƯCLN(n+1; 2n+3) = 1
=> đpcm
Câu b và c lm tương tự
Chú ý: Câu b sẽ ra 2 chia hết cho d => d thuộc {1 ; 2} nhưng do 2n+3 lẻ => d = 1
Gọi ƯC (3n+4;2n+3)=d
ta có :3n+4 chia hết d
2n+3 chia hết d
=>(2n+3) - (3n+4) chia hết d
=>3x(2n+3) - 2x(3n+4) chia hết d
=>6n+9 - 6n + 8 chia hết d
=>6n-6n + 9 - 8 chia hết d
=>0+1 chia hết d
=>1 chia hết d
=>1=d
vì ƯC (3n+4;2n+3)=1 nên 3n+4/2n+3 là phân số tối giản
\(\text{Gọi:}d=\left(2n-1,n^2+n+1\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(2n-1\right)^2⋮d\\n^2+n+1⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(4n^2-4n+1-4n^2-4n-4\right)⋮d\)
\(\Leftrightarrow-8n-3⋮d\Leftrightarrow8n+3⋮d\Leftrightarrow8n-4-\left(8n+3\right)⋮d\Leftrightarrow7⋮d\Leftrightarrow d\in\left\{1;7\right\}\)
\(\text{nếu 2 só trên đều chia hết cho 7}\Rightarrow2n\text{ chia 7 dư 1}\Rightarrow n=7k+4\Rightarrow n^2+n+1=49k^2+35k+17⋮7̸\)
vậy p/s trên tối giản :D
Dặt d =(A=15n2+8n+6;B=30n2+21n+13)
=> A;B cùng chia hết cho d
B-2A=30n2+21n+13- 30n2-16n -12 =5n+1 chia hết cho d
=> d =5n+1 hoặc d =1
+d =5n+1; nhưng A không chia hết ch o 5n+1 loại
Vậy d =1
=> Phân thức A/B là tối giản.
2n+1/4n+1
Gọi d là ƯC của 2n+1 và 4n+1
=> d=2n+1 :4n+1
=> (2n+1: 4n+1 ): d
=>[ 2.(2n+1)-1.(4n+1)]
=>4n+2-4n-1
=>d=1
Vậy phân số trên là phân số tối giản
Bài 1:
1) \(9A=3^3+3^5+...+3^{113}\)
\(\Rightarrow8A=9A-A=3^3+3^5+...+3^{113}-3-3^3-...-3^{111}=3^{113}-3\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{3^{113}-3}{8}\)
2) \(9B=3^4+3^6+...+3^{202}\)
\(\Rightarrow8B=9B-B=3^4+3^6+...+3^{202}-3^2-3^4-...-3^{200}=3^{202}-3^2=3^{202}-9\)
\(\Rightarrow B=\dfrac{3^{202}-9}{8}\)
3) \(25C=5^3+5^5+...+5^{101}\)
\(\Rightarrow24C=25C-C=5^3+5^5+...+5^{101}-5-5^3-...-5^{99}=5^{101}-5\)
\(\Rightarrow C=\dfrac{5^{101}-5}{24}\)
4) \(25D=5^4+5^6+...+5^{102}\)
\(\Rightarrow24D=25D-D=5^4+5^6+...+5^{102}-5^2-5^4-...-5^{100}=5^{102}-25\)
\(\Rightarrow D=\dfrac{5^{102}-25}{24}\)
Bài 2:
a) Gọi d là UCLN(2n+1,n+1)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\n+1⋮d\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\2n+2⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(2n+2\right)-\left(2n+1\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\)
Vậy 2n+1 và n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow\dfrac{2n+1}{n+1}\) là phân số tối giản
b) Gọi d là UCLN(2n+3,3n+4)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\3n+4⋮d\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+9⋮d\\6n+8⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(6n+9\right)-\left(6n+8\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow\dfrac{2n+3}{3n+4}\) là phân số tối giản
Gọi \(d=ƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)\left(d\in N\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3+2n⋮d\\n^4+3n^2+1⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^4+2n^2⋮d\\n^4+3n^2+1⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow n^2+1⋮d\)
Mà \(n^3+2n⋮d\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3+n⋮d\\n^3+2n⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow n⋮d\)
Mà \(n^2+1⋮d\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2⋮d\\n^2+1⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow1⋮d\)
Vì \(d\in N;1⋮d\Leftrightarrow d=1\)
\(\LeftrightarrowƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\) Phân số \(\dfrac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\) tối giản với mọi n
Gọi \(d=ƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3+2n⋮d\\n^4+3n^2+1⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^4+2n^2⋮d\\n^4+3n^2+1⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow n^2+1⋮d\)
Mà n3 + 2n \(⋮\) d
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3+n⋮d\\n^3+2n⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow n⋮d\)
Mà n2 + 1 \(⋮\) d
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2⋮d\\n^2+1⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
Vì \(d\in N;1⋮d\Rightarrow d=1\)
\(\RightarrowƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)=1\)
Vậy phân số \(\dfrac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\) tối giản \(\forall n\in N\) => đpcm