ZN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NB
1
25 tháng 5 2021
a)Xét \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-\dfrac{a^2+b^2}{2}=\)\(\dfrac{a^2+2ab+b^2-2\left(a^2+b^2\right)}{4}\)\(=\dfrac{-a^2+2ab-b^2}{4}\)\(=\dfrac{-\left(a-b\right)^2}{4}\le0\forall a;b\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\) (bạn ghi sai đề?)
Dấu = xảy ra <=> a=b
b) \(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)-\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)\)
\(=a^{12}+a^{10}b^2+a^2b^{10}+b^{12}-\left(a^{12}+a^8b^4+a^4b^8+b^{12}\right)\)
\(=a^2b^2\left(a^8+b^8-a^6b^2-a^2b^6\right)\)
\(=a^2b^2\left(a^2-b^2\right)\left(a^6-b^6\right)=a^2b^2\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) với mọi a,b
=> \(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)\)
Dấu = xảy ra <=>a=b
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 5 2023
Lời giải:
$a^2+b^2=(a^2-a+\frac{1}{4})+(b^2-b+\frac{1}{4})+(a+b-\frac{1}{2})$
$=(a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2+(a+b-\frac{1}{2})$
$\geq a+b-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Vậy $a^2+b^2\geq \frac{1}{2}$
Giá trị này đạt tại $a-\frac{1}{2}=b-\frac{1}{2}=0$
$\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 1 2021
Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
YL
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 4 2019
Biến đổi tương đương:
\(a^4+1\ge a^3+a\Leftrightarrow a^4-a^3-a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^3-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left[\left(a+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT ban đầu đúng, dấu "=" xảy ra khi \(a=1\)
Y
21 tháng 5 2019
\(\Leftrightarrow a^6+1\ge a^4+a^2\)
\(\Leftrightarrow a^6-a^4-a^2+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4\left(a^2-1\right)-\left(a^2-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-1\right)\left(a^2-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-1\right)^2\left(a^2+1\right)\ge0\)
Vì BĐT cuối luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương nên ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2-1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=-1\end{matrix}\right.\)
X
22 tháng 8 2019
\(x^2\ge2x-1\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\)
22 tháng 8 2019
Có: \(\left(x-1\right)^2\ge0,\forall x\)
\(\rightarrow x^2-2x+1\ge0,\forall x\)
\(\Rightarrow x^2\ge2x-1,\forall x\)
Nhớ tick mik nha
NT
3
LD
10 tháng 5 2019
\(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) đúng
Vậy ta có đpcm
KH
10 tháng 5 2019
Không chắc là đúng đâu nhé :D
\(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-\frac{a+b}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a-b\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a\left(a+b\right)-\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a-1\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Ta có: \(a^4+1\ge a\left(a^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+1\ge a^3+a\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3+1-a\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^3-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)\ge0\)Ta thấy \(a^2+a+1=a^2+2a.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+1-\dfrac{1}{4}=\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\)Vì \(\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) ( với mọi a )
Vậy \(\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)\ge0\) ( với mọi a )
Khi \(x-1\ne0\) hay \(x\ne1\) ( vì \(x^2+1>0\) với mọi x )