Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
các bài toán bên dưới đều có thể áp dụng bđt tổng quát sau:
a²/x + b²/y + c²/z + d²/t ≥ (a+b+c+d)² /(x+y+z+t) (*-*)
bao nhiêu cặp số cũng đc trong đó có đk x, y, z, t > 0
dấu "=" khi a/x = b/y = c/z = d/y
~ ~ ~ ~
chứng minh là hệ quả trực tiếp từ bđt Bunhiacopski
hoặc cách khác: với 2 cặp số: a²/x + b²/y ≥ (a+b)²/(x+y)
ta chứng minh bằng biến đổi tương đương sẽ bđt đúng là (ay-bx)² ≥ 0
ad: a²/x + b²/y + c²/z ≥ (a+b)²/(x+y) + c²/z ≥ (a+b+c)²/(x+y+z)
cứ bổ sung thêm vào ta cm được cho 4, 5... cặp số
~ ~ ~ ~
1) ad (*-*) với 5 cặp số:
1/a + 1/a + 1/b + 1/c + 1/d ≥ (5)² /(2a+b+c+d)
=> 25/(2a+b+c+d) ≤ 2/a + 1/b + 1/c + 1/d
tương tự: 25/(a+2b+c+d) ≤ 2/b + 1/a + 1/c + 1/d
25/(a+b+2c+d) ≤ 2/c + 1/a + 1/b + 1/d
25/(a+b+c+2d) ≤ 2/d + 1/a + 1/b + 1/c
cộng lại 4 bđt trên:
25.VT ≤ 5(1/a + 1/b + 1/c +1/d) = 25 => VT ≤ 1 (đpcm) ; dấu "=" khi a = b = c = d = 1
~ ~ ~ ~
2) ad bđt (*-*) với 4 cặp số:
a/(b+c) + b/(c+d) + c/(d+a) + d/(a+b) =
= a²/(ab+ac) + b²/(bc+bd) + c²/(cd+ca) + d²/(da+db) ≥
≥ (a+b+ c+d)²/(ab+ac +bc+bd + cd+ca + da+db) cần cm ≥ 2
qui đồng, khai triển rút gọ => cần cm a²+b²+c²+d² ≥ 2ca + 2db
<=> (a-c)² + (b-d)² ≥ 0 là bđt đúng => đpcm
~ ~ ~ ~
3) hình như lại ghi sai đề, thử thay a = 2, b = c = 1 có:
a/(b+2a) + b/(c+2a) + c/(a+2b) = 2/5 + 1/5 + 1/4 = 17/20 ≥ 1 (???)
~ ~ ~ ~
4) vẫn ad (*-*): dùng luôn cho 8 cặp số (hoặc tách thành vài lần kủng đc)
1/a + 3(1/b) + 4(1/c) ≥ (1+3+4)² /(a+3b+4c)
1/b + 3(1/c) + 4(1/a) ≥ (1+3+4)² /(b+3c+4a)
1/c + 3(1/a) + 4(1/b) ≥ (1+3+4)² /(c+3a+4b)
cộng lại hết:
8(1/a + 1/b + 1/c) ≥ 8²/(a+3b+4c) + 8²/(b+3c+4a) + 8²/(c+3a+4b)
=> 8²/(a+3b+4c) + 8²/(b+3c+4a) + 8²/(c+3a+4b) ≤ 8(bc+ca+ab)/abc = 8
=> 1/(a+3b+4c) + 1/(b+3c+4a) + 1/(c+3a+4b) ≤ 1/8 (đpcm)
dấu "=" khi a = b = c = 3
~ ~ ~ ~ ~
5) ad (*-*)
a/(a+2b+3c) + b/(b+2c+3a) + c/(c+2a+3b) =
= a²/(a²+2ab+3ac) + b²/(b²+2bc+3ab) + c²/(c²+2ac+3bc) ≥
≥ (a+b+c)² /(a²+b²+c² + 5ab + 5ac + 5bc)
mặt khác có bđt: a²+b²+c² ≥ ab+bc+ca
=> (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2ab+2bc+2ca ≥ 3ab+bc+3ca
=> 2(a+b+c)² ≥ (a+b+c)² + 3ab+3bc+3ca = a²+b²+c² + 5ab+5bc+5ca
=> (a+b+c)² /(a²+b²+c² + 5ab + 5ac + 5bc) ≥ 1/2
thay vào trên ta có VT ≥ 1/2 (đpcm); dấu "=" khi a = b = c
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Có: A+B = a + b - 5 - b - c + 1 = a - c - 4
C - D = b - c - 4 - b + a = a - c - 4
=> A + B = C - C ( = a - c -4)
A + B = a + b - 5 + ( - b - c + 1)= a + b - 5 - b - c + 1 = a - c - 4 (1)
C - D = b - c - 4 - (b - a) = b - c - 4 - b + a = - c - 4 + a = a - c - 4 (2)
(1) và (2) => A + B = C - D
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a.(b-c)+c.(a-b)
= ab - ac + ac - bc
= ab - bc
= b(a - c)
a.(b-c)-b.(a+c)
= ab - ac - ba - bc
= -ac - bc
= -c(a + b)
a.(b+c)-b.(a-c)
= ab + ac - ba + bc
= ac + bc
= c(a + b)
không cần k đâu bạn à
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có : B-A
= ( b+ c - 1) - ( -a + b + c)
= b+ c + (-1) - ( -a ) -b-c
= b+ c + ( -1) +a + ( -b) + (-c)
= [ b + ( -b) ] + [c+(-c)] + (-1)+ a
= 0 + 0 + ( -1) + a
= (-1)+a
Ta có : C-D
= ( b-c+6) - ( 7-a+b+c) ( chỗ này bạn sai đề, mk sửa lại cho ý )
= b-c+6-7+a-b+c
= b+(-c) + 6 + (-7)+a+(-b)+c
= [ b+(-b)] + [ (-c)+c] + a+ ( -7+6)
= 0 + 0 + ( -1) + a
= (-1)+a
=> B-A = C-D
Duyệt đi , chúc bạn hk giỏi
Ta có:
B - A = b + c - 1 - (-a + b + c)
= b + c - 1 + a - b - c
= (b - b) + (c - c) - 1 + a
= 0 + 0 - 1 + a
= -1 + a (1)
C - D = b - c + 6 - (7 - a + b - c)
= b - c + 6 - 7 + a - b + c
= (b - b) + (c - c) - (7 - 6) + a
= 0 + 0 - 1 + a
= -1 + a (2)
Từ (1) và (2) => B - A = C - D
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Theo t/c dãy tỉ số=nhau:
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)
\(=>a=b;b=c;c=a=>a=b=c\left(đpcm\right)\)
a/ a.(b+c)-b(a-c)=ab+ac-ab+bc=ac+bc=c.(a+b) => dpcm
b/ a.(b-c)-a.(b+d)=ab-ac-ab-ad=-ac-ad=-a(c+d) => dpcm
a.
a.(b+c)-b.(a-c) = (a+b).c
Ta xét vế trái :
a.(b+c)-b.(a-c)
=a.b +a.c - b.a +b.c
=(a.b+b.c) -(b.a-a.b)
=(a+b).c - 0
=(a+b).c
Vậy a.(b+c)-b.(a-c)= (a+b).c
b.
a.(b-c)-a.(b+d) = -a.(c+d)
Ta xét vế trái :
a.(b-c)-a.(b+d)
=a.b - a.c - a.b - a.d
=(a.b - a.b) - (a.c - a.d)
= 0 - a.(c+d)
= -a.(c+d)
Vậy a.(b-c)-a.(b+d) = -a.(c+d)
❤Good❤ study !!!❤