Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Do $AB\parallel CN$ nên áp dụng định lý Talet:
$\frac{AM}{MN}=\frac{AB}{CN}=\frac{DC}{CN}$
$\Rightarrow \frac{AM}{AM+MN}=\frac{DC}{DC+CN}$ hay $\frac{AM}{AN}=\frac{DC}{DN}$
$\Rightarrow AM=\frac{AN.DC}{DN}$
Do đó:
$\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{DN^2}{AN^2.DC^2}+\frac{1}{AN^2}$
$=\frac{1}{AN^2}.\frac{DN^2+DC^2}{DC^2}$
$=\frac{1}{AN^2}.\frac{DN^2+AD^2}{DC^2}$
$=\frac{1}{AN^2}.\frac{AN^2}{DC^2}$ (theo định lý Pitago)
$=\frac{1}{DC^2}$
Ta có đpcm.
Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
=> BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE.
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
=>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
(Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/
(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
=> ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).
a) Tứ giác ACDE là hình vuông (gt).
\(\Rightarrow\) \(\widehat{DAE}=\widehat{DAC}\) (Tính chất hình vuông).
Xét tứ giác AMCB:
\(A;M;C;B\in\left(O\right)\left(gt\right).\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác AMCB nội tiếp (O).
\(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MCB}=\widehat{DAE}.\\\widehat{MBC}=\widehat{DAC}.\end{matrix}\right.\)
Mà \(\widehat{DAE}=\widehat{DAC}\left(cmt\right).\)
\(\Rightarrow\widehat{DAE}=\widehat{DAC}=\widehat{MCB}=\widehat{MBC}.\)
Xét (O):
\(M\in\left(O\right)\left(gt\right).\)
BC là đường kính (gt).
\(\Rightarrow\widehat{BMC}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét \(\Delta BMC:\)
\(\widehat{MCB}=\widehat{MBC}\left(cmt\right).\)
\(\Rightarrow\text{}\Delta BMC\) cân tại M.
Mà \(\widehat{BMC}=90^o\left(cmt\right).\)
\(\Rightarrow\text{}\Delta BMC\) vuông cân tại M.
b) Tứ giác ACDE là hình vuông (gt).
\(\Rightarrow\) \(\widehat{AED}=\widehat{EDC}=\widehat{DCA}=\widehat{CAE}=90^o\) (Tính chất hình vuông).
Xét tứ giác FDCM:
\(\widehat{FMC}+\widehat{FDC}=90^o+90^o=180^o.\)
Mà 2 góc ở vị trí đối nhau.
\(\Rightarrow\) Tứ giác FDCM nội tiếp đường tròn.
\(\Rightarrow\widehat{FCM}=\widehat{FDM}.\)
Mà \(\widehat{FDM}+\widehat{EAD}=90^o\) (2 góc phụ nhau).
\(\Rightarrow\widehat{FCM}+\widehat{EAD}=90^o.\)
Lại có \(\widehat{EAD}=\widehat{MCB}\left(cmt\right).\)
\(\Rightarrow\widehat{FCM}+\widehat{MCB}=90^o.\\ \Rightarrow\widehat{FCB}=90^o.\)
Xét tứ giác BEFC:
\(\widehat{FCB}+\widehat{FEB}=90^o+90^o=180^o.\)
Mà 2 góc ở vị trí đối nhau.
\(\Rightarrow\) Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn.
c) Xét (O):
BC là đường kính (gt).
\(FC\perp BC\left(\widehat{FCB}=90^o\right).\)
\(\Rightarrow\) FC là là tiếp tuyền của đường tròn (O).
Bài 2:
a: \(\dfrac{EB}{FC}=\dfrac{BH^2}{AB}:\dfrac{CH^2}{AC}=\dfrac{BH^2}{AB}\cdot\dfrac{AC}{CH^2}\)
\(=\left(\dfrac{BH}{CH}\right)^2\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^4}{AC^4}\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^3}{AC^3}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)(đpcm)
b: \(BE\cdot CF\cdot BC\)
\(=\dfrac{BH^2}{AB}\cdot\dfrac{CH^2}{CA}\cdot BC\)
\(=\dfrac{\left(BH\cdot CH\right)^2}{AH\cdot BC}\cdot BC=\dfrac{AH^4}{AH}=AH^3\)(đpcm)