Question

[Vũ Khánh Linh]

Cho hình vuông ABCD. Đường thẳng đi qua A cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh rằng: 1/DC²=1/AN²+1/AM^{2 (vẽ thêm hình nhé)}

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
Do $AB\parallel CN$ nên áp dụng định lý Talet:

$\frac{AM}{MN}=\frac{AB}{CN}=\frac{DC}{CN}$

$\Rightarrow \frac{AM}{AM+MN}=\frac{DC}{DC+CN}$ hay $\frac{AM}{AN}=\frac{DC}{DN}$

$\Rightarrow AM=\frac{AN.DC}{DN}$

Do đó:

$\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{DN^2}{AN^2.DC^2}+\frac{1}{AN^2}$

$=\frac{1}{AN^2}.\frac{DN^2+DC^2}{DC^2}$

$=\frac{1}{AN^2}.\frac{DN^2+AD^2}{DC^2}$

$=\frac{1}{AN^2}.\frac{AN^2}{DC^2}$ (theo định lý Pitago)

$=\frac{1}{DC^2}$ 

Ta có đpcm.

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: