Question

[ミ★Zero ❄ ( Hoàng Nhật )]

Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AH là đường cao . Trên đoạn HC lấy M ( M khác H , M khác C ), gọi I,J lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến các cạnh AC và AB , N là điểm đối xứng của M qua IJ

a, Chứng minh : ABCN là tứ giác nội tiếp đương tròn (T)

b, Kéo dài AM cắt đường tròn (T) tại P ( P khác A ). Chứng minh: \(\frac{1}{PM}< \frac{1}{PB}< \frac{1}{PC}\)

c, Gọi D là trung điểm của AH , kẻ HK vuông góc với CD tại K . Chứng minh : \(\widehat{BAK}=\widehat{KHC}\)

Answer 1

[Đặng Ngọc Quỳnh]

a) Ta có tứ giác AIMJ là hcn=> AIMJ nội tiếp đường tròn đường kính AM,  IJ

Vì N đối xứng với M qua IJ => góc JNI = góc JMI = 90^o ha N thuộc đường tròn đường kính AM và IJ => góc ANM = 90^o 

mà I thuộc trung trực MN => tam giác MIC vuông cân tại I =>  I thuộc trung trực MC

=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC

=> góc MNC =1/2 góc MIC = 45⁰ 

=> góc ABC + góc ANC = 45+90+45=180⁰

Hay tứ giác ABCN nội tiếp đường tròn (T) (ĐPCM)

Answer 2

[Đặng Ngọc Quỳnh]

b)CM: 1/PM<1/PB+1/PC ?

Ta có: tam giác MPC đồng dạng tam giác MBA => PM/MB=PC/BA => PM/PC=MB/BA (1)

TAM GIÁC MBP đồng dạng tam giác MAC => PM/MC=PB/CA=> PM/PB=MC/AC      (2)

Cộng vế theo về của (1) và (2) ta có:

PM/PC+PM/PB=MB/BC+MC/AC=MB/BA+MC/BA=AC/BA>1 => ĐPCM

c) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:

DH²=DK.DC => DA²=DK.DC

=> DA/DC=DK/DA => TAM GIÁC DKA đồng dạng tam giác DAC => góc AKD =DAC =45^o

=> góc ABH+ góc AKH = 45+45+90=180⁰=> TỨ GIÁC ABHK nội tiếp

=> Góc AKB =AHB =90 = GÓC HKC 

Mà góc ABK =AHK=KCH => đpcm