Question

[Nguyễn Tuấn Minh]

Cho tam giác ABC. Trên AB,BC,CA lần lượt lấy các điểm M,N,P. Biết AM=2MB , BN=2NC , CP=2PA.

Nối M,N,P. Hỏi diện tích tam giác MNP là bao nhiêu( cái này ko tính cụ thể, chỉ cần tính chung chung. Vd nó bằng 1/10 S ABC,.....)

Cái phần VD chỉ là để cho các bạn hiểu thôi chứ ko phải đáp án

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Nối MC. Chọn BMC là tam giác trung gian.

Ta có : BN = 2NC => BN = 2/3BC

=> \(\frac{S_{BMN}}{S_{BMC}}=\frac{BN}{NC}=\frac{2}{3}\)

Lại có AM = 2BM => BM = 1/3AB

\(\Rightarrow\frac{S_{BMC}}{S_{ABC}}=\frac{BM}{AB}=\frac{1}{3}\Rightarrow S_{BMC}=\frac{1}{3}S_{ABC}\) mà \(S_{BMN}=\frac{2}{3}S_{BMC}\Rightarrow S_{BMN}=\frac{2}{3}.\frac{1}{3}S_{ABC}=\frac{2}{9}S_{ABC}\)

Tương tự, ta cũng chứng minh được \(S_{AMP}=\frac{2}{9}S_{ABC};S_{PNC}=\frac{2}{9}S_{ABC}\)

\(\Rightarrow S_{AMP}+S_{BMN}+S_{PNC}=\frac{2}{9}.3S_{ABC}=\frac{2}{3}S_{ABC}\)

\(\Rightarrow S_{MNP}=S_{ABC}-\left(S_{AMP}+S_{BMN}+S_{PCN}\right)=S_{ABC}-\frac{2}{3}S_{ABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}\)