Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Kẻ HD//AB, HE//AC
−>AD=HE;AE=AH
Theo BĐT trong tam giác :
AH < AE+HE = AE+AD
xét ΔHDC vuông tại H :HC<DC
ΔBHE vuông tại H : HB<BE
−> HA+HB+HC < AE+AD+BE+DC = AB+AC
chứng minh tương tự:
HA+HB+HC<AB+BC
HA+HB+HC<AC+BC
-> có : 3(HA+HB+HC)<2(AB+AC+BC)
-> ( HA + HB + HC ) x \(\frac{3}{2}\) < AB + AC + BC
bây giờ mik làm có muộn lắm ko bạn???
a) \(\frac{HA'}{AA'}=\frac{S_{HA'C}}{S_{AA'C}}=\frac{S_{BHA'}}{S_{AA'B}}=\frac{S_{HA'C}+S_{BHA'}}{S_{AA'C}+S_{AA'B}}=\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}\)
Tương tự : \(\frac{HB'}{BB'}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}};\frac{HC'}{CC'}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)
\(\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=1\)
b) Ta có : \(\frac{AN}{BN}=\frac{AI}{BI}\)
Mà \(\frac{AI}{CI}=\frac{AM}{CM}\)\(\Rightarrow AI=\frac{AM}{CM}.CI\)
\(\Rightarrow\frac{AN}{BN}=\frac{AM}{CM}.\frac{CI}{BI}\Rightarrow AN.CM.BI=BN.AM.CI\)
Vẽ Cx \(\perp\)CC'
vẽ D đối xứng với A qua Cx ; DA cắt Cx tại P \(\Rightarrow\)CD = AC
C/m đc CC'AP là hình chữ nhật
\(\Rightarrow\)CC' = AP = PD ; \(\widehat{BAD}=90^o\)
Ta có : BD \(\le\)BC + CD . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\Delta BAD\)vuông tại A \(\Rightarrow\)AC = BC
\(\Rightarrow\)BD2 \(\le\)( BC + CD )2
\(\Delta BAD\)vuông A \(\Rightarrow\)BD2 = AB2 + AD2
\(\Rightarrow\)AB2 + AD2 \(\le\)( BC + AC )2
\(\Rightarrow\)AD2 \(\le\)( BC + AC )2 - AB2
\(\Rightarrow\)4CC'2 \(\le\)( BC + AC )2 - AB2 . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AC = BC
Tương tự , 4BB'2 \(\le\)( AB + BC )2 - AC2 . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = BC
4CC'2 \(\le\)( AB + AC )2 - BC2 . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = AC
Cộng 3 vế ta được : 4 ( AA'2 + BB'2 + CC'2 ) \(\le\)( AB + BC + AC )2
\(\Rightarrow\)\(\frac{\left(AB+BC+AC\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\ge4\). Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)AB = BC = AC
a) Qua H kẻ HG//AB cắt AC tại G; kẻ HI//AC cắt AB tại I như hình vẽ.
=> HI vuông BH ; CH vuông HG
và AIHG là hình bình hành
Xét tam giác BHI vuông tại H => BH<BI ( mối quan hệ cạnh góc vuông và cạnh huyền) (1)
Xét tam giác CHG vuông tại H => CH<CG
=> CH+BH + AH< BI+CG +AH
Ta lại có AH <AI+IH ( bất đẳng thức trong tam giác AIH)
mà IH=AG ( AIHG là hình bình hành theo cách vẽ )
=> AH < AI+AG
Vậy CH+BH+AH<BI+CG+AI+AG=AB+AC
b) Chứng minh AB+AC+BC>3/2 (HA+HB+HC)
Chứng minh tương tự như câu a.
Ta có: \(AB+AC>HA+HB+HC\)
\(BC+AC>HA+HB+HC\)
\(AB+BC>HA+HB+HC\)
Cộng theo vế ta có:
\(2AB+2AC+2BC>3HA+3HB+3HC\)
=> \(2\left(AB+AC+BC\right)>3\left(HA+HB+HC\right)\)
=> \(AB+AC+BC>\frac{3}{2}\left(HA+HB+HC\right)\)
c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’
ta có: BD BC + CD
-BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2
AB2 + AD2 >= (BC+CD)2
AB2 + 4CC’2 >= (BC+AC)2
4CC’2 >=(BC+AC)2 – AB2
Tương tự: 4AA’2 >= (AB+AC)2 – BC2
4BB’2 (AB+BC)2 – AC2
4(AA’2 + BB’2 + CC’2)>= (AB+BC+AC)2
b)Do AI là phân giác
=>\(\frac{IB}{IC}=\frac{AB}{AC}\)
Do IN là phân giác=>\(\frac{AN}{BN}=\frac{AI}{BI}\)
Do IM là phân giác
=>\(\frac{CM}{AM}=\frac{CI}{AI}\)
=>\(\frac{BI}{CI}\cdot\frac{AN}{BN}\cdot\frac{CM}{AM}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{AI}{BI}\cdot\frac{CI}{AI}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{CI}{BI}=1\)
=>AN.BI.CM=BN.IC.AM
A=(\frac{m-1}{1}+...+\frac{m-(m-1)}{m-1}+\frac{m-m}{m})+(\frac{1}{m-1}+\frac{2}{m-2}+...+\frac{m-2}{2}+\frac{m-1}{1})
Đầu tiên ta chứng minh: \(\frac{HA}{CA}.\frac{HB}{CB}+\frac{HB}{AB}.\frac{HC}{AC}+\frac{HC}{BC}.\frac{HA}{BA}=1\)
Đặt \(\frac{HA}{CB}=x;\frac{HB}{AC}=y;\frac{HC}{AB}=z\) ta có: \(xy+yz+zx=1\)
Áp dụng bất đẳng thức Bu - nhi - a cho ba số x, y, z ta có: \(\left(xy+yz+zx\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
Hay \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge1\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge1\)
Giả sử \(\frac{HA}{BC}+\frac{HB}{CA}+\frac{HC}{AB}=x+y+z\)
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx>1+2=3\)
Từ đó suy ra \(x+y+x\ge\sqrt{3}\Leftrightarrow\frac{HA}{BC}+\frac{HB}{CA}+\frac{HC}{AB}\ge\sqrt{3}\).
Cái này thì mình chịu thôi ! Có biết cái khỉ gió ma toi gì đâu mà giải ! Hì Hì ! ^_^ Sorry nha