Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\frac{5-\sqrt{21}}{2}=a;\frac{5+\sqrt{21}}{2}=b>0\) thì \(ab=1\)
*Chứng minh an là số tự nhiên.
Với n = 0, 1 nó đúng. Giả sử nó đúng đến n = k tức là ta có:
\(\hept{\begin{cases}a^{k-1}+b^{k-1}\inℤ\\a^k+b^k\inℤ\end{cases}}\). Ta cần chưng minh nó đúng với n = k + 1 hay:
\(a^k.a+b^k.b=\left(a^k+b^k\right)\left(a+b\right)-ab\left(b^{k-1}+a^{k-1}\right)\)
\(=\left(a^k+b^k\right)\left(a+b\right)-\left(b^{k-1}+a^{k-1}\right)\inℤ\) (em tắt tí nhá, dựa vào giả thiết quy nạp thôi)
Vậy ta có đpcm.
Còn lại em chưa nghĩ ra
Áp dụng tính chất với mọi \(n\in N\) ta có \(\left[n+x\right]=n+\left[x\right]\)
Với \(k\in N\)
- Xét \(n=4k\):
\(\left[\frac{4k+2}{4}\right]+\left[\frac{4k+4}{4}\right]+\left[\frac{4k-1}{2}\right]=\left[k+\frac{1}{2}\right]+\left[k+1\right]+\left[2k-\frac{1}{2}\right]\)
\(=k+\left[\frac{1}{2}\right]+k+1+2k+\left[\frac{-1}{2}\right]=k+k+1+2k-1=4k=n\)
- Với \(n=4k+1\)
\(\left[\frac{4k+3}{4}\right]+\left[\frac{4k+5}{4}\right]+\left[\frac{4k}{2}\right]=\left[k+\frac{3}{4}\right]+\left[k+1+\frac{1}{4}\right]+\left[2k\right]\)
\(=k+\left[\frac{3}{4}\right]+k+1+\left[\frac{1}{4}\right]+2k=4k+1=n\)
- Với \(n=4k+2\)
\(\left[\frac{4k+4}{4}\right]+\left[\frac{4k+6}{4}\right]+\left[\frac{4k+1}{2}\right]=\left[k+1\right]+\left[k+1+\frac{1}{2}\right]+\left[2k+\frac{1}{2}\right]\)
\(=k+1+k+1+\left[\frac{1}{2}\right]+2k+\left[\frac{1}{2}\right]=4k+2=n\)
- Với \(n=4k+3\)
\(\left[\frac{4k+5}{4}\right]+\left[\frac{4k+7}{4}\right]+\left[\frac{4k+2}{2}\right]=\left[k+1+\frac{1}{4}\right]+\left[k+1+\frac{3}{4}\right]+\left[2k+1\right]\)
\(=k+1+k+1+2k+1=4k+3=n\)
Vậy \(\left[\frac{n+2}{4}\right]+\left[\frac{n+4}{4}\right]+\left[\frac{n-1}{2}\right]=n\)
//Cách chia trường hợp này hơi dài, k biết có cách nào tốt hơn ko nữa
Nhận xét: \(\left(n+1\right)\sqrt{n}=\sqrt{\left(n+1\right)^2n}=\sqrt{\left(n+1\right)n\left(n+1\right)};n\sqrt{n+1}=\sqrt{n^2\left(n+1\right)}=\sqrt{n.n\left(n+1\right)}\)
=> \(\left(n+1\right)\sqrt{n}>n\sqrt{n+1}\) => \(2.\left(n+1\right)\sqrt{n}>\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}\)
=> \(\frac{2}{2.\left(n+1\right)\sqrt{n}}
Ta có:
\(\frac{1}{\left(n-1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)