Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(B'N=2BN\Rightarrow BN=\dfrac{1}{3}BB'=2a\)
Qua N lần lượt kẻ các đường thẳng song song AB và BC, chúng cắt AA' tại E và CC' tại F
\(\Rightarrow AE=BN=CF=2a\Rightarrow PF=ME=\dfrac{6a}{2}-2a=a\)
\(NF=NE=AB=BC=a\)
\(\Rightarrow MN=NP=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow S_{MNP}=\dfrac{a^2\sqrt{7}}{4}\) (công thức Herong, hoặc kẻ NH vuông góc MP và tính NH theo Pitago với tam giác MNP cân tại N)
\(S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
Do MA, NB, PC vuông góc (ABC) \(\Rightarrow\) ABC là hình chiếu vuông góc của MNP lên (ABC)
\(\Rightarrow cos\alpha=\dfrac{S_{ABC}}{S_{MNP}}=\sqrt{\dfrac{3}{7}}\Rightarrow\alpha\)
Lời giải:
Gọi chiều cao của hình lăng trụ là \(AA'=h\)
Vì là hình lăng trụ đều nên các mặt bên đều là hình chữ nhật (có các cạnh vuông góc với nhau)
Do đó áp dụng định lý Pitago:
\(A'B=\sqrt{BB'^2+A'B'}=\sqrt{16+h^2}\)
\(A'C=\sqrt{16+h^2}\)
\(BC=4\)
Tam giác $A'BC$ cân tại $A$. Từ $A$ kẻ đường cao $AH$ xuống $BC$
Pitago \(\Rightarrow AH=\sqrt{A'B^2-BH^2}=\sqrt{16+h^2-2^2}=\sqrt{12+h^2}\)
\(S_{A'BC}=\frac{AH.BC}{2}=\frac{\sqrt{12+h^2}.4}{2}=8\rightarrow h=2\)
Do đó \(V_{ABC.A'B'C'}=S_{ABC}.h=2.\frac{\sqrt{3}}{4}.4^2=8\sqrt{3}\)
Do A' cách đều A; B; C \(\Rightarrow\) hình chiếu vuông góc H của A' lên (ABC) trùng tâm của tam giác ABC
\(\Rightarrow\widehat{A'AH}=60^0\)
\(AH=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow AA'=\dfrac{AH}{cos60^0}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}=BB'=CC'=A'B=A'C\) (do A' cách đều A, B, C nên \(A'A=A'B=A'C\))
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}A'H\perp\left(ABC\right)\Rightarrow A'H\perp BC\\AH\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(A'AH\right)\Rightarrow BC\perp AA'\)
\(\Rightarrow BC\perp BB'\Rightarrow B'C'CB\) là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông)
\(S_{BCC'B'}=BB'.BC=\dfrac{2a^2\sqrt{3}}{3}\)
Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow A'M=\sqrt{A'A^2-\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt[]{39}}{6}\)
\(S_{A'AB}=\dfrac{1}{2}A'M.AB=\dfrac{a^2\sqrt{39}}{12}\)
\(\Rightarrow S_{xq}=S_{BCC'B'}+4S_{A'AB}=...\)