Question

[Tran Tuan Anh]

Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng a cắt AB,AC,AD lần lượt tại E,M,F. CMR: \(\frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AF}=\frac{AC}{AM}\)

Answer 1

[Minh Nguyen]

Qua B và D kẻ hai đường thẳng song song với đường thẳng D và cắt  AC tại H và K.

Gọi giao điểm 2 đường chéo của hình bình hành ABCD.

Áp dụng định lí Ta-lét, ta có các tỉ số :

\(\frac{AB}{AE}=\frac{AH}{AM}\); \(\frac{AD}{AF}=\frac{AK}{AM}\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AF}=\frac{AH}{AM}+\frac{AK}{AM}=\frac{AH+AK}{AM}=\frac{2AK+IH+IK}{AM}\)(1)

Ta có : \(\Delta BHI=\Delta DKI\left(gcg\right)\)

\(\Rightarrow IH=IK\)

Thay vào (1) ta được :

\(\Rightarrow\frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AF}=\frac{2AK+2IK}{AM}=\frac{2\left(AK+IK\right)}{AM}=\frac{2AI}{AM}\)

Mà \(AI=\frac{1}{2}AC\Rightarrow2AC=AI\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AF}=\frac{AC}{AM}\)(Đpcm)