Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(M=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{16x}+\frac{4}{16y}+\frac{16}{16z}\)
\(\ge\frac{\left(1+2+4\right)^2}{16\left(x+y+z\right)}=\frac{49}{16}\)
Dấu bằng xảy ra khi
\(\frac{1}{16x}=\frac{2}{16y}=\frac{4}{16z}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{7}\\y=\frac{2}{7}\\z=\frac{4}{7}\end{cases}}\)
\(M=\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(=\frac{1}{16x^2}+\frac{4}{16y^2}+\frac{16}{16z^2}\)
\(=\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}+\frac{16}{z^2}\right)\)
\(\ge\frac{1}{16}.\frac{\left(1+2+4\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{49}{16}\)(Svac - xơ)
Vậy \(M_{min}=\frac{49}{16}\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}=\frac{4}{y^2}=\frac{16}{z^2}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{\sqrt{21}}\\y=\frac{2}{\sqrt{21}}\\z=\frac{4}{\sqrt{21}}\end{cases}}\)
Cho sửa chỗ dấu "="
\("="\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}=\frac{2}{y^2}=\frac{4}{z^2}=7\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\sqrt{\frac{1}{7}}\\y=\sqrt{\frac{2}{7}}\\z=\frac{2}{\sqrt{7}}\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x=-\sqrt{\frac{1}{7}}\\y=-\sqrt{\frac{2}{7}}\\z=-\frac{2}{\sqrt{7}}\end{cases}}\)
\(M=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{16}{z}\right)=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2^2}{y}+\dfrac{4^2}{z}\right)\)
\(\Rightarrow M\ge\dfrac{1}{16}\dfrac{\left(1+2+4\right)^2}{x+y+z}=\dfrac{1}{16}.\dfrac{49}{1}=\dfrac{49}{16}\)
\(\Rightarrow M_{min}=\dfrac{49}{16}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{y}=\dfrac{4}{z}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{7}\\y=\dfrac{2}{7}\\z=\dfrac{4}{7}\end{matrix}\right.\)
ta có
P = 1/16x + 1/4y + 1/z = (1/16x + 4/16y + 16/16z)
áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có
(1/16x + 4/16y + 16/16z)*(16x + 16y + 16z) >= (1 + 2 + 4)^2 = 49
=> P.16 >= 49 hay P >= 49/16
dấu = xảy ra khi
1/(16x)^2 = 1/64y^2 = 1/16z^2 và x + y + z = 1
<> 1/16x = 1/8y = 1/4z và x + y + z = 1
<> 4x = 2y = z và x + y + z = 1
<> x = 1/7 và y = 2/7 và z = 4/7
Áp dụng cosi
`1/x^2+1/y^2>=2/(xy)`
`=>1/2>=2/(xy)`
`=>xy>=4`
Aps dụng cosi
`=>x+y>=2\sqrt{xy}=2.2=4`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=4`
Có : \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{x^2}\cdot\dfrac{1}{y^2}}=\dfrac{2}{xy}\)
\(\Rightarrow xy\ge4\)
Ta có : \(A=x+y\ge2\sqrt{xy}=2\sqrt{4}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)
Vậy min A = 4 khi $x=y=2$
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(M=\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{(\frac{1}{4})^2}{x^2}+\frac{(\frac{1}{2})^2}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1)^2}{x^2+y^2+z^2}\)
hay \(M\geq \frac{49}{16}\)
Vậy $M_{\min}=\frac{49}{16}$
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{1}{4x^2}=\frac{1}{2y^2}=\frac{1}{z^2}\) hay \(x=\sqrt{\frac{1}{7}}; y=\sqrt{\frac{2}{7}}; z=\sqrt{\frac{4}{7}}\)
\(M=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{4}{y^2}+\dfrac{16}{z^2}\right)\ge\dfrac{1}{16}.\dfrac{\left(1+2+4\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{49}{16}\)
\(\Rightarrow M_{min}=\dfrac{49}{16}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=\dfrac{1}{7}\\y^2=\dfrac{2}{7}\\z^2=\dfrac{4}{7}\end{matrix}\right.\)