Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sửa đề:
Cho a, b, c > 1(chỗ này là ý tui, dùng Wolfram Alpha sẽ thấy nếu không sửa như vầy thì đẳng thức không xảy ra). CMR:
\(\frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2b-1}+\frac{1}{2c-1}+3\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\) (cái này là ý chủ tus đấy nhá!)
\(\Leftrightarrow\frac{2a}{2a-1}+\frac{2b}{2b-1}+\frac{2c}{2c-1}\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\) (tách ghép vế trái + làm chặt BĐT do \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b};..\))
\(\Leftrightarrow\frac{2a^2-4a+2}{a\left(2a-1\right)}+\frac{2b^2-4b+2}{b\left(2b-1\right)}+\frac{2c^2-4c+1}{c\left(2c-1\right)}\ge0\) (chuyển vế + quy đồng)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a-1\right)^2}{a\left(2a-1\right)}+\frac{2\left(b-1\right)^2}{b\left(2b-1\right)}+\frac{2\left(c-1\right)^2}{c\left(2c-1\right)}\ge0\) (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy ta có đpcm.
\(\frac{1}{2a-1}+1\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{2a-1+1}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
a,b,c > 0 nên 2a + b >0; 2b + c > 0; 2c + a > 0
Áp dụng BĐT Cauchy- schwarz:
\(VT=\text{Σ}_{cyc}\frac{1}{2a+b}\ge\frac{9}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{a+b+c}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z\ge1\)
\(P=\sqrt{x^2+2y^2}+\sqrt{y^2+2z^2}+\sqrt{z^2+2x^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{\frac{\left(x+2y\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(y+2z\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(z+2x\right)^2}{3}}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(3x+3y+3z\right)\ge\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) hay \(a=b=c=3\)
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Phạm Vũ Trí Dũng - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
1. Ta có: \(ab+bc+ca=3abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=m\\\frac{1}{b}=n\\\frac{1}{c}=p\end{cases}}\) khi đó \(\hept{\begin{cases}m+n+p=3\\M=2\left(m^2+n^2+p^2\right)+mnp\end{cases}}\)
Áp dụng Cauchy ta được:
\(\left(m+n-p\right)\left(m-n+p\right)\le\left(\frac{m+n-p+m-n+p}{2}\right)^2=m^2\)
\(\left(n+p-m\right)\left(n+m-p\right)\le n^2\)
\(\left(p-n+m\right)\left(p-m+n\right)\le p^2\)
\(\Rightarrow\left(m+n-p\right)\left(n+p-m\right)\left(p+m-n\right)\le mnp\)
\(\Leftrightarrow m^3+n^3+p^3+3mnp\ge m^2n+mn^2+n^2p+np^2+p^2m+pm^2\)
\(\Leftrightarrow\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-mn-np-pm\right)+6mnp\ge mn\left(m-n\right)+np\left(n-p\right)+pm\left(p-m\right)\)
\(=mn\left(3-p\right)+np\left(3-m\right)+pm\left(3-n\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(m^2+n^2+p^2\right)-3\left(mn+np+pm\right)+6mnp\ge3\left(mn+np+pm\right)-3mnp\)
\(\Leftrightarrow3\left(m^2+n^2+p^2\right)+9mnp\ge6\left(mn+np+pm\right)\)
\(\Leftrightarrow xyz\ge\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)-\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)\)
\(\Rightarrow M\ge2\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)-\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)\)
\(=\frac{5}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)\)
\(=\frac{4}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2+2mn+2np+2pm\right)\)
\(=\frac{4}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{1}{3}\left(m+n+p\right)^2\)
\(\ge\frac{4}{3}\cdot3+\frac{1}{3}\cdot3^2=4+3=7\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(m=n=p=1\Leftrightarrow a=b=c=1\)
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
Đặt x = \(\frac{1}{2a+1},y=\frac{1}{2b+1},z=\frac{1}{2c+1}\)
Khi đó \(a=\frac{1-x}{2x},b=\frac{1-y}{2y},c=\frac{1-z}{2z}\)
Ta thấy 0 < x, y, z < 1 và x + y + z \(\ge1\)
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành :
\(\frac{x}{3-2x}+\frac{y}{3-2y}+\frac{z}{3-2z}\ge\frac{3}{7}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có :
\(\frac{x}{3-2x}+\frac{y}{3-2y}+\frac{z}{3-2z}\)
\(=\frac{x^2}{3x-2x^2}+\frac{y^2}{3y-2y^2}+\frac{z^2}{3z-2z^2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x+y+z\right)-2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x+y+z\right)-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2}\)
\(=\frac{3}{\frac{9}{x+y+z}-2}\ge\frac{3}{7}\)
Cbht
Do a ; b ; c \(\ge1>0\) , áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số , ta được :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
=> BĐT được c/m
Áp dụng BĐT trên vào bài toán , ta có :
\(\frac{1}{2a-1}+1\ge\frac{4}{2a-1+1}=\frac{2}{a}\left(1\right)\)
Tương tự : \(\frac{1}{2b-1}+1\ge\frac{2}{b};\frac{1}{2c-1}+1\ge\frac{2}{c}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có : \(\frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2b-1}+\frac{1}{2c-1}+3\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\left(3\right)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ( đã c/m ) , ta có :
\(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{a+c}\left(4\right)\)
Từ ( 3 ) ; ( 4 ) \(\Rightarrow\) đpcm
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a-1=1\\2b-1=1\\2c-1=1;a=b=c\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy ...