K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

18 tháng 12 2018

Xét a=1,b=4,c=9 thì P=0

Xét \(a>1,b>4,c>9\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(P=\frac{bc.\sqrt{a-1}.1+\frac{ca}{2}.\sqrt{b-4}.2+\frac{ab}{3}.\sqrt{c-9}.3}{abc}\)

\(\le\frac{bc.\frac{a-1+1}{2}+\frac{ca}{2}.\frac{b-4+4}{2}+\frac{ab}{3}.\frac{c-9+9}{2}}{abc}\)

\(=\frac{\frac{abc}{2}+\frac{abc}{4}+\frac{abc}{6}}{abc}=\frac{\frac{11}{12}abc}{abc}=\frac{11}{12}\)

Nên GTLN của P là \(\frac{11}{12}\) đạt được khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{a-1}=1\\\sqrt{b-4}=2\\\sqrt{c-9}=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a-1=1\\b-4=4\\c-9=9\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=2\\b=8\\c=18\end{cases}}\)

1 tháng 7 2020

\(P=\frac{bc\sqrt{a-1}+ca\sqrt{b-4}+ab\sqrt{c-9}}{abc}=\frac{\sqrt{a-1}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}+\frac{\sqrt{c-9}}{c}\)

Vì \(a\ge1;b\ge4;c\ge9\). Áp dụng BĐT Cosi cho các số dương ta được:

\(\sqrt{a-1}=1\cdot\sqrt{a-1}\le\frac{1+a-1}{2}=\frac{a}{2}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{a-1}=1\Leftrightarrow a=2\)

\(\sqrt{b-4}=2\cdot\sqrt{b-4}\le\frac{4+b-4}{2}=\frac{b}{2}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{b-4}=2\Leftrightarrow b=8\)

\(\sqrt{c-9}=3\cdot\sqrt{c-9}\le\frac{9+c-9}{2}=\frac{c}{2}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{c-9}=3\Leftrightarrow c=18\)

\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{a-1}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}+\frac{\sqrt{c-9}}{c}\le\frac{a}{2a}+\frac{b}{2b}+\frac{c}{2c}=\frac{3}{2}\)

Vậy GTLN của P\(=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=2;b=8;c=18\)

7 tháng 1 2021

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: \(P=\frac{bc\sqrt{a-1}+ca\sqrt{b-4}+ab\sqrt{c-9}}{abc}\)\(=\frac{bc\sqrt{\left(a-1\right).1}+\frac{1}{2}ca\sqrt{4.\left(b-4\right)}+\frac{1}{3}ab\sqrt{9.\left(c-9\right)}}{abc}\)\(\le\frac{bc.\frac{\left(a-1\right)+1}{2}+\frac{1}{2}ca.\frac{4+\left(b-4\right)}{2}+\frac{1}{3}ab.\frac{9+\left(c-9\right)}{2}}{abc}\)\(=\frac{\frac{1}{2}abc+\frac{1}{4}abc+\frac{1}{6}abc}{abc}=\frac{\frac{11}{12}abc}{abc}=\frac{11}{12}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 8; c = 18

28 tháng 12 2019

\(P=\frac{\sqrt{a-1}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}+\frac{\sqrt{c-9}}{c}=\frac{\sqrt{\left(a-1\right)\cdot1}}{a}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{\left(b-4\right)\cdot4}}{b}+\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{\left(c-9\right)\cdot9}}{c}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{\frac{a-1+1}{2}}{a}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\frac{b-4+4}{2}}{b}+\frac{1}{3}\cdot\frac{\frac{c-9+9}{2}}{c}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{a}{2a}+\frac{b}{4b}+\frac{c}{6c}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{11}{12}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=8\\c=18\end{matrix}\right.\)

NV
31 tháng 12 2021

\(P=bc.1.\sqrt{a-1}+\dfrac{ca}{3}.3.\sqrt{b-9}+\dfrac{ab}{4}.4.\sqrt{c-16}\)

\(P\le\dfrac{bc}{2}\left(1+a-1\right)+\dfrac{ca}{6}\left(9+b-9\right)+\dfrac{ab}{8}\left(16+c-16\right)\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{abc}{2}+\dfrac{abc}{6}+\dfrac{abc}{8}=912\)

\(P_{max}=912\)  khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;18;32\right)\)

18 tháng 10 2019

Ta có:

\(bc\sqrt{1\left(a-1\right)}\le bc.\frac{1+a-1}{2}=\frac{abc}{2}\)

\(ca\sqrt{b-4}=\frac{1}{2}ca\sqrt{4\left(b-4\right)}\le\frac{1}{2}ca.\frac{4+b-4}{2}=\frac{abc}{4}\)

\(ab\sqrt{c-9}=\frac{1}{3}ab.\sqrt{9\left(c-9\right)}\le\frac{1}{3}ab.\frac{9+c-9}{2}=\frac{abc}{6}\)

Từ đó suy ra \(P\le\frac{abc\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)}{abc}=\frac{11}{12}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 8; c = 18

Is that true?

18 tháng 10 2019

True not false

\(P=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\)

thử dùng cô si đi

20 tháng 8 2017

sửa ab thành a2 mới làm như Thành được nhé :v

8 tháng 6 2016

Ta có: \(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}}{2}\)

\(\frac{ca}{\sqrt{b+ac}}=\frac{ca}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}}{2}\)

\(\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}}{2}\)

Cộng 3 vế ta được: \(P\le\frac{\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}}{2}\)

\(=\frac{\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}}{2}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\)

        Vậy  MinP = 1/2 

8 tháng 6 2016

\(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a.1+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\)

13 tháng 11 2017

\(\sqrt{c+ab}\) =\(\sqrt{c\left(a+b+c\right)+ab}=\sqrt{c^2+ac+cb+ab}=\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)

\(\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}\le\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{b+c}\right)\)

ttu \(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right);\frac{ac}{\sqrt{b+ca}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{a+c}\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{bc+ac}{2\left(a+b\right)}+\frac{ac+ab}{2\left(a+b\right)}+\frac{bc+ab}{2\left(c+b\right)}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2}\)

dau = xay ra khi a=b=c=1/3

trả lời 

=1/2

chúc bn

học tốt