Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt z1 + z2 = a; z1. z2 = b; a, b ∈ R
Khi đó, z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình
(z – z1)(z – z2) = 0 hay z2 – (z1 + z2)z + z1. z2 = 0 ⇔ z2 – az + b = 0
Đó là phương trình bậc hai đối với hệ số thực. Suy ra điều phải chứng minh.
TRONG VONG MAY PHUT MA GIAI MẤY BÀI LIỀN BẠN LÀ 1 SIÊU NHÂN GIẢI TOÁN...HOẶC BẠN LÀ 1 SIÊU NHÂN SAO CHÉP TỪ SÁCH GIẢI BÀI TẬP LÊN ĐỂ CẦU ...."GP"
Đặt \(t=z^2\), ta có phương trình \(t^2+at+1=0 \qquad (1)\)
\(\Delta =a^2-4\)
PT đã cho có 4 nghiệm \(\Leftrightarrow\) (1) phải có hai nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow \Delta\ne 0\Leftrightarrow a\ne \pm2\)
Khi đó (1) có nghiệm \(t=\dfrac{-a\pm \sqrt{a^2-4}}{2}\).
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử: \(z_1=z_3;z_2=z_4\)
Khi đó ta có:
\([(z_1^2+4)(z_2^2+4)]^2=441\\ \Leftrightarrow \left(\dfrac{-a+\sqrt{a^2-4}}{2}+4\right)\left(\dfrac{-a-\sqrt{a^2-4}}{2}+4\right)=441\)
\(\Leftrightarrow (-a+8)^2-(a^2-4)=4.441\\ \Leftrightarrow -16a+68=1764\\ \Leftrightarrow a=-106\)
Bài của bạn có những vấn đề sau:
1. PT ban đầu có 4 nghiệm khi mà $(1)$ có 2 nghiệm dương phân biệt. Điều này xảy ra khi $\Delta=a^2-4>0$ và $t_1+t_2=-a>0$ và $t_1t_2=1>0$
$\Leftrightarrow a< -2$
2. Ta có thể giả sử $z_1^2=z_3^2; z_2^2=z_4^2$ chứ không phải $z_1=z_3; z_2=z_4$ bạn nhé.
Lời giải:
Đặt \(\frac{z_1}{z_2}=t\Rightarrow \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\overline{t}\)
Ta cần chứng minh \(\overline{t}=\frac{\overline{z_2t}}{\overline{z_2}}\Leftrightarrow \overline{t}\overline{z_2}=\overline{tz_2}\)
Đặt \(t=a+bi,z_2=c+di\). Bài toán tương đương với:
\((a-bi)(c-di)=\overline{(a+bi)(c+di)}\Leftrightarrow ac-bd-i(ad+bc)=ac-i(ad+bc)-bd\)
(luôn đúng)
Do đó ta có đpcm
b)
Dựa vào phần a, ta có:
\(\text{VT}^2=\frac{z_1}{z_2}.\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{z_1}{z_2}.\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}=\frac{|z_1|^2}{|z_2|^2}=\text{VP}^2\)
\(\Rightarrow \text{VT}=\text{VP}\) (cùng dương)
Ta có đpcm
Trường hợp ∆ ≥ 0 ta đã biết kết quả.
Xét trường hợp ∆ < 0, từ công thức nghiệm
z1 =
, z2 = 
với |∆| = 4ac - b2
z1 + z2 =
z1 z2 =