Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt z1 + z2 = a; z1. z2 = b; a, b ∈ R
Khi đó, z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình
(z – z1)(z – z2) = 0 hay z2 – (z1 + z2)z + z1. z2 = 0 ⇔ z2 – az + b = 0
Đó là phương trình bậc hai đối với hệ số thực. Suy ra điều phải chứng minh.
TRONG VONG MAY PHUT MA GIAI MẤY BÀI LIỀN BẠN LÀ 1 SIÊU NHÂN GIẢI TOÁN...HOẶC BẠN LÀ 1 SIÊU NHÂN SAO CHÉP TỪ SÁCH GIẢI BÀI TẬP LÊN ĐỂ CẦU ...."GP"
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(t=z^2\), ta có phương trình \(t^2+at+1=0 \qquad (1)\)
\(\Delta =a^2-4\)
PT đã cho có 4 nghiệm \(\Leftrightarrow\) (1) phải có hai nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow \Delta\ne 0\Leftrightarrow a\ne \pm2\)
Khi đó (1) có nghiệm \(t=\dfrac{-a\pm \sqrt{a^2-4}}{2}\).
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử: \(z_1=z_3;z_2=z_4\)
Khi đó ta có:
\([(z_1^2+4)(z_2^2+4)]^2=441\\ \Leftrightarrow \left(\dfrac{-a+\sqrt{a^2-4}}{2}+4\right)\left(\dfrac{-a-\sqrt{a^2-4}}{2}+4\right)=441\)
\(\Leftrightarrow (-a+8)^2-(a^2-4)=4.441\\ \Leftrightarrow -16a+68=1764\\ \Leftrightarrow a=-106\)
Bài của bạn có những vấn đề sau:
1. PT ban đầu có 4 nghiệm khi mà $(1)$ có 2 nghiệm dương phân biệt. Điều này xảy ra khi $\Delta=a^2-4>0$ và $t_1+t_2=-a>0$ và $t_1t_2=1>0$
$\Leftrightarrow a< -2$
2. Ta có thể giả sử $z_1^2=z_3^2; z_2^2=z_4^2$ chứ không phải $z_1=z_3; z_2=z_4$ bạn nhé.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Đặt \(\frac{z_1}{z_2}=t\Rightarrow \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\overline{t}\)
Ta cần chứng minh \(\overline{t}=\frac{\overline{z_2t}}{\overline{z_2}}\Leftrightarrow \overline{t}\overline{z_2}=\overline{tz_2}\)
Đặt \(t=a+bi,z_2=c+di\). Bài toán tương đương với:
\((a-bi)(c-di)=\overline{(a+bi)(c+di)}\Leftrightarrow ac-bd-i(ad+bc)=ac-i(ad+bc)-bd\)
(luôn đúng)
Do đó ta có đpcm
b)
Dựa vào phần a, ta có:
\(\text{VT}^2=\frac{z_1}{z_2}.\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{z_1}{z_2}.\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}=\frac{|z_1|^2}{|z_2|^2}=\text{VP}^2\)
\(\Rightarrow \text{VT}=\text{VP}\) (cùng dương)
Ta có đpcm
Trường hợp ∆ ≥ 0 ta đã biết kết quả.
Xét trường hợp ∆ < 0, từ công thức nghiệm
z1 =
, z2 =
với |∆| = 4ac - b2
z1 + z2 =![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B80%7D%20%5Cfrac%7B-b+i%5Csqrt%7B%7C%5Cbigtriangleup%20%7C%7D-b-i%5Csqrt%7B%7C%5Cbigtriangleup%20%7C%7D%7D%7B2a%7D%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D)
z1 z2 =![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B80%7D%20%5Cfrac%7B%28-b+i%5Csqrt%7B%7C%5Cbigtriangleup%20%7C%7D%29%28-b-i%5Csqrt%7B%7C%5Cbigtriangleup%20%7C%7D%29%7D%7B2a.2a%7D%3D%5Cfrac%7Bb%5E%7B2%7D+%7C%5Cbigtriangleup%20%7C%7D%7B4a%5E%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bb%5E%7B2%7D+4ac-b%5E%7B2%7D%7D%7B4a%5E%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D)