Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(a^2+3=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=\dfrac{a}{a^2+7}+\dfrac{b}{b^2+7}+\dfrac{c}{c^2+7}\le\sum\dfrac{a}{4\sqrt{a^2+3}}=\sum\dfrac{a}{4\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(\le\sum\dfrac{a}{4}.\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)=\sum\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}\right)=\dfrac{3}{8}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
P/s:\(\sum\limits_{x,y,z}x=x+y+z\) :Tổng hoán vị
Cách 1:
BĐT \(\Leftrightarrow7\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\le2\left(a+b+c\right)^3+9abc\)
\(VP-VT=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2+\left(c+a\right)\left(c-a\right)^2\ge0\)
Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cách 2:
Đặt \(\left(a+b+c;ab+bc+ca;abc\right)=\left(3u;3v^2;w^3\right)\) thì 3u = 1. Chú ý \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow3u^2\ge3v^2\Rightarrow u^2\ge v^2\)
Cần chứng minh: \(21v^2\le2+9w^3\Leftrightarrow63uv^2\le54u^3+9w^3\)
\(RHS-LHS=9\left(w^3+3u^3-4uv^2\right)+27u\left(u^2-v^2\right)\ge0\)
Đúng theo BĐT Schur bậc 3.
P/s: Em không chắc ở cách 2.
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
a)\(VT=\sum_{cyc}\frac{ab^3+ab^2c+a^2bc}{\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)}\le\frac{\sum_{cyc}\left(ab^3+ab^2c+a^2bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(=\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)\(\le\frac{\sum_{cyc}ab\left(a^2+b^2\right)+abc\left(a+b+c\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}=VP\)