K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

25 tháng 5 2019

Áp dụng bđt AM-GM:

\(a^5+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{a^5.\frac{1}{a}}=2a^2\)

\(b^5+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{b^5.\frac{1}{b}}=2b^2\)

\(c^5+\frac{1}{c}\ge2\sqrt{c^5.\frac{1}{c}}=2c^2\)

\(\Rightarrow VT\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2=6\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)

20 tháng 3 2016

cmtt \(\frac{b^2}{a+c}+\frac{a+c}{4}\ge b\)

\(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge c\)

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b+b+c+c+a}{4}\ge a+b+c\)

\(A+\frac{1}{2}\ge1\)

20 tháng 3 2016

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{4}}=a\)

cmtt 

A+1/2\(\ge1\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}\)

A là biểu thức bên trái nha

???? là sao vừa lớn vừa bằng đó

duyệt đi

NV
13 tháng 7 2020

\(a+b+c=abc\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow xy+yz+zx=1\)

\(VT=\frac{x^2yz}{1+yz}+\frac{xy^2z}{1+zx}+\frac{xyz^2}{1+xy}=\frac{x^2yz}{xy+yz+yz+zx}+\frac{xy^2z}{xy+zx+yz+zx}+\frac{xyz^2}{xy+yz+xy+zx}\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{x^2yz}{xy+yz}+\frac{x^2yz}{yz+zx}+\frac{xy^2z}{xy+zx}+\frac{xy^2z}{yz+zx}+\frac{xyz^2}{xy+yz}+\frac{xyz^2}{xy+zx}\right)\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{x^2y}{x+y}+\frac{xy^2}{x+y}+\frac{y^2z}{y+z}+\frac{yz^2}{y+z}+\frac{x^2z}{x+z}+\frac{xz^2}{x+z}\right)\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(xy+yz+zx\right)=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)

11 tháng 12 2016

áp dụng Cô-si ta có:

\(a^5+\frac{1}{a}+1+1\ge4\sqrt[4]{a^5.\frac{1}{a}.1.1}=4a\)

\(b^5+\frac{1}{b}+1+1\ge4\sqrt[4]{b^5.\frac{1}{b}.1.1}=4b\)

\(c^5+\frac{1}{c}+1+1\ge4\sqrt[4]{c^5.\frac{1}{c}.1.1}=4c\)

\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5+1+1+1+1+1+1\ge4a+4b+4c\)

\(\Leftrightarrow a^5+b^5+c^5\ge4\left(a+b+c\right)-6=4.3-6=6\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

16 tháng 11 2018

Vẫn áp dụng cô si nhưng lần này sẽ khác cách của Thành:

Áp dụng BĐT Côsi,ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

Suy ra \(VT\ge a^5+b^5+c^5+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

Suy ra \(VT+1+1\ge a^5+b^5+c^5+1+1+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\) (1)

Áp dụng Côsi,ta có: \(a^5+b^5+c^5+1+1\ge5\sqrt[5]{1a^5b^5c^51}=5abc\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(VT+1+1\ge5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

\(VT\ge5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}-2\).Ta cần chứng minh \(5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}-2\ge6\Leftrightarrow5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\ge8\) (3)

Thật vậy ta có: \(\sqrt[3]{abc}\le\frac{a+b+c}{3}\Rightarrow abc\ge\frac{a+b+c}{3}\).Áp dụng vào,ta có:

\(abc\ge\frac{a+b+c}{3}=1\) (do a + b + c = 3).

Thay vào (3),ta có:\(5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\ge8\) suy ra \(5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}-2\ge6\) suy ra đpcm

19 tháng 11 2017

dùng bđt cauchy chứng minh biểu thức trên >=2 rồi chứng minh dấu = không xảy ra