OI
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
17 tháng 1 2023
\(A=\dfrac{x+\sqrt{x}+10+\sqrt{x}+3}{x-9}=\dfrac{x+2\sqrt{x}+13}{x-9}\)
Để A>B thì A-B>0
=>\(\dfrac{x+2\sqrt{x}+13}{x-9}-\sqrt{x}-1>0\)
=>\(\dfrac{x+2\sqrt{x}+13-\left(x-9\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-9}>0\)
=>\(\dfrac{x+2\sqrt{x}+13-x\sqrt{x}-x+9\sqrt{x}+9}{x-9}>0\)
=>\(\dfrac{-x\sqrt{x}+11\sqrt{x}+22}{x-9}>0\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}-x\sqrt{x}+11\sqrt{x}+22>0\\x-9>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}< 4.05\\x>9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow9< x< 16.4025\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}-x\sqrt{x}+11\sqrt{x}+22< 0\\x-9< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}>4.05\\0< x< 9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in\varnothing\)
N
30 tháng 11 2019
Ta co:
\(\frac{1}{a+b^2}+\frac{1}{a^2+b}=\frac{1}{\frac{a^2}{a}+b^2}+\frac{1}{a^2+\frac{b^2}{b}}\ge\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{a+1}}+\text{ }\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{b+1}}=\frac{a+b+2}{\left(a+b\right)^2}\)
Ta di chung minh:
\(\frac{a+b+2}{\left(a+b\right)^2}\le1\)
Dat \(t=a+b\left(t\ge2\right)\)
BDT can chung minh la:
\(\frac{t+2}{t^2}\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t+1\right)\ge0\left(True\right)\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=1\)
30 tháng 11 2019
Ta có:\(\frac{1}{a+b^2}\le\frac{1}{2b\sqrt{a}}\)( áp dụng bất đẳng thức coossi cho a và b^2 rồi nghịch đảo)
\(\frac{1}{b^2+a}\le\frac{1}{2b\sqrt{a}}\)
Do đó: \(\frac{1}{a+b^2}+\frac{1}{b+a^2}\le\frac{1}{2b\sqrt{a}}+\frac{1}{2a\sqrt{b}}\)
\(=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2ab}=\frac{\sqrt{a}.1+\sqrt{b}.1}{2ab}\)
\(\le\frac{\frac{a+1}{2}+\frac{b+1}{2}}{2ab}=\frac{a+b+2}{4ab}\)( áp dụng bất đẳng thức cosi cho \(\sqrt{a}.1\)và \(\sqrt{b}.1\))
\(\le\frac{a+b+2}{\left(a+b\right)^2}=\frac{a+b}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(=\frac{1}{a+b}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\le\frac{1}{2}+\frac{2}{4}=1\)( do a+b\(\ge\)2 nên \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{2}\)và \(\left(a+b\right)^2\ge4\)nên \(\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\le\frac{2}{4}\))
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
12 tháng 8 2023
\(a_1,\sqrt{x}< 7\\ \Rightarrow x< 49\\ a_2,\sqrt{2x}< 6\\ \Rightarrow x< 18\\ a_3,\sqrt{4x}\ge4\\ \Rightarrow4x\ge16\\ \Rightarrow x\ge4\\ a_4,\sqrt{x}< \sqrt{6}\\ \Rightarrow x< 6\)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
12 tháng 8 2023
\(b_1,\sqrt{x}>4\\ \Rightarrow x>16\\ b_2,\sqrt{2x}\le2\\ \Rightarrow2x\le4\\ \Rightarrow x\le2\\ b_3,\sqrt{3x}\le\sqrt{9}\\ \Rightarrow3x\le9\\ \Rightarrow x\le3\\ b_4,\sqrt{7x}\le\sqrt{35}\\ \Rightarrow7x\le35\\ \Rightarrow x\le5\)
OI
0