Question

[Nguyễn Viết Thắng]

Cho a=11.....1(2n chữ số 1)

b=44....4(n chữ số 4)

CMR a+b+1 là số chính phương

(viết có giấu nha mn)

Answer 1

[soyeon_Tiểubàng giải]

Ta dễ dàng chứng minh được công thức: \(111...1=\frac{10^n-1}{9}\)

(n số 1)

Áp dụng công thức trên ta có:

\(a+b+1=111...1.10^n+111...1+111...1.4+1\)

(n số 1) (n số 1) (n số 1)

\(=\frac{10^n-1}{9}.\left(10^n+1+4\right)+1\)

\(=\frac{10^n-1}{9}.\left(10^n+1+4+3\right)-\frac{10^n-1}{9}.3+1\)

\(=\frac{10^n-1}{9}.\left(10^n+8\right)-\frac{10^n-1}{3}+1\)

\(=111...1.3.333...36-333...3+1\)

(n số 1) (n - 1 số 3) (n số 3)

\(=333...3.333...36-333...32\)

(n số 3)(n - 1 số 3)(n - 1 số 3)

\(=333...3.333...34+333...3+333...3-333...32\)

(n số 3)(n - 1 số 3)(n số 3) (n số 3) (n - 1 số 3)

\(=333...34^2\), là số chính phương (đpcm)

(n - 1 số 3)