K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
26 tháng 12 2020

\(A=a^2+\dfrac{1}{16a^2}+b^2+\dfrac{1}{16b^2}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)\)

\(A\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{16a^2}}+2\sqrt{\dfrac{b^2}{16b^2}}+\dfrac{15}{32}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2\)

\(A\ge1+\dfrac{15}{32}\left(\dfrac{4}{a+b}\right)^2\ge1+\dfrac{15}{32}.4\)

 

22 tháng 12 2021

\(P=2+\dfrac{2}{b}+a+\dfrac{a}{b}+2+\dfrac{2}{a}+b+\dfrac{b}{a}=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(a+\dfrac{1}{2a}\right)+\left(b+\dfrac{1}{2b}\right)+\left(\dfrac{3}{2a}+\dfrac{3}{2b}\right)+4\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}+2\sqrt{a.\dfrac{1}{2a}}+2\sqrt{b.\dfrac{1}{2b}}+2\sqrt{\dfrac{3}{2a}.\dfrac{3}{2b}}+4=6+2\sqrt{2}+\dfrac{3}{\sqrt{ab}}\)

Ta lại có: \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2.b^2}=2ab\left(BĐT.Cauchy\right)\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge4ab\Rightarrow\sqrt{ab}\le\dfrac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge6+2\sqrt{2}+\dfrac{3}{\sqrt{ab}}\ge6+2\sqrt{2}+\dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=6+5\sqrt{2}\)

\(minP=6+5\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

 

22 tháng 12 2021

\(A=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2\right)=\dfrac{1-a+b}{b}+\dfrac{1-b+a}{a}\)

Vì \(a^2+b^2=1\) và \(a,b>0\Leftrightarrow0< a< 1;0< b< 1\Leftrightarrow1+a-b>0;1-b+a>0\)

\(\Leftrightarrow A\ge2\sqrt{\dfrac{\left(1-a+b\right)\left(1-b+a\right)}{ab}}=2\sqrt{\dfrac{1-a^2-b^2+2ab}{ab}}=2\sqrt{2}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=1\\\dfrac{1-a+b}{b}=\dfrac{1-b+a}{a}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 5 2023

Lời giải:
$P=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc}$

Áp dụng BĐT AM-GM, dạng $(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)$ ta có:

$(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2\geq 3(a^2b^4c^2+a^4b^2c^2+a^2b^2c^4)$

$=3a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)=3a^2b^2c^2$

$\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq \sqrt{3}abc$

$\Rightarrow P=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc}\geq \sqrt{3}$

Vậy $P_{\min}=\sqrt{3}$. Giá trị này đạt tại $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

11 tháng 6 2023

\(\)Ta có: \(a+b+c=0 \Rightarrow b+c=-a \Rightarrow (b+c)^2=(-a)^2 \Leftrightarrow b^2+c^2+2bc=a^2 \Leftrightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)

Tương tự: \(b^2-c^2-a^2=2ca;c^2-a^2-b^2=2ab\)

\(P=...=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ca}+\dfrac{c^2}{2bc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)

----
Bổ đề \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\)

Ở đây ta c/m chiều thuận:
Với \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a+b=-c \Rightarrow (a+b)^3=(-c)^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc(QED)\)

\(=\left(1^2+4^2\right)\left(a^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\ge\left(1a+4.\dfrac{1}{b}\right)^2\\ \Rightarrow\sqrt{a^2+\dfrac{1}{vb^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+\dfrac{4}{b}\right)\) 

Tương tự

\(\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(b+\dfrac{4}{c}\right)\\ \sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(c+\dfrac{4}{a}\right)\\ Do.đó:\\ Q\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+b+c+\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\\ \left(a+b+c+\dfrac{36}{a+b+c}\right)\) 

\(=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\\ \left[a+b+c+\dfrac{9}{4\left(a+b+c\right)}+\dfrac{135}{4\left(a+b+c\right)}\right]\\ \ge\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)

5 tháng 2 2022

Cái thứ nhất là tại sao có cái đầu tiên =)) cái thứ 2 dấu bằng xảy ra khi nào :V

7 tháng 12 2021

\(a,P=\dfrac{\sqrt{x}+2+\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\cdot\dfrac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\dfrac{-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{-2}{\sqrt{x}+2}\\ P=-\dfrac{3}{5}\Leftrightarrow\dfrac{2}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{3}{5}\\ \Leftrightarrow3\sqrt{x}+6=10\Leftrightarrow\sqrt{x}=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{16}{9}\left(tm\right)\)

8 tháng 12 2021

\(P=-\dfrac{3}{5}\) sao suy ra đc \(\dfrac{2}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{3}{5}\) thế

 

5 tháng 2 2022

cả 2 bđt đều chưa dc học :(( làm cách khác dc k

5 tháng 2 2022

(a + b + c) \(\le\dfrac{3}{2}\)

sao (a + b + c)2 \(\ge\dfrac{9}{4}\)được 

nếu lấy a + b + c = 1 có đúng đâu : 

5 tháng 2 2022

\(không\) \(dùng\) \(bđt\) \(làm\) \(sao\) \(ra\) \(được\) ??

\(\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{17}}.\sqrt{\left(1+4^2\right)\left(a^2+\dfrac{1}{b^2}\right)}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+\dfrac{4}{b}\right)\left(bunhiacopki\right)\)

\(tương-tự:\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(b+\dfrac{4}{c}\right)\)

\(\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(c+\dfrac{4}{a}\right)\)

\(\Rightarrow Q\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+b+c+\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left[16a+\dfrac{4}{a}+16b+\dfrac{4}{b}+16c+\dfrac{4}{c}-15\left(a+b+c\right)\right]\)

\(bđt:cosi\Rightarrow16a+\dfrac{4}{a}\ge2\sqrt{16a.\dfrac{4}{a}}=2\sqrt{16.4}=16\)

\(tương-tự\Rightarrow16b+\dfrac{4}{b}\ge16;16c+\dfrac{4}{c}\ge16\)

\(có:a+b+c\le\dfrac{3}{2}\Rightarrow15\left(a+b+c\right)\le\dfrac{45}{2}\)

\(\Rightarrow-15\left(a+b+c\right)\ge-\dfrac{45}{2}\)

\(\Rightarrow Q\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(16+16+16-\dfrac{45}{2}\right)=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)

\(dấu"="xayra\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}\)

các bước ban đầu dùng bunhia chọn được 1+4^2 là do dự đoán được trước điểm rơi tại a=b=c=1/2 thôi bạn,cả bước tách dùng cosi cũng dự đoán dc điểm rơi =1/2 nên tách đc thôi

 

5 tháng 2 2022

Tại sao lại k được dùng nhỉ? Trông khi dùng thì bài toán sẽ dễ giải quyết hơn

 

Áp dụng Bunhiacopxki:

     \(\sqrt{\left(a^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\left(\dfrac{1}{4}+4\right)}\ge\dfrac{a}{2}+\dfrac{2}{b}\)

     \(\Rightarrow\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}\ge\dfrac{2}{\sqrt{17}}\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{2}{b}\right)\)

Do đó:

     \(Q\ge\dfrac{2}{\sqrt{17}}\left[\dfrac{a+b+c}{2}+2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\right]\)

Ta có:  \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)

     \(\Rightarrow Q\ge\dfrac{2}{\sqrt{17}}\left[\dfrac{a+b+c}{2}+\dfrac{18}{a+b+c}\right]\)

 Áp dụng Cô-si:

      \(\dfrac{a+b+c}{2}+\dfrac{9}{8\left(a+b+c\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)

Do đó:

     \(Q\ge\dfrac{2}{\sqrt{17}}\left[\dfrac{3}{2}+\dfrac{135}{8\left(a+b+c\right)}\right]\ge\dfrac{2}{\sqrt{17}}\left[\dfrac{3}{2}+\dfrac{135}{8.\dfrac{3}{2}}\right]=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)