Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Ta có:
\(\text{VT}=a-\frac{2ab^2}{a+2b^2}+b-\frac{2bc^2}{b+2c^2}+c-\frac{2ca^2}{c+2a^2}\)
\(=(a+b+c)-2\left(\frac{ab^2}{a+2b^2}+\frac{bc^2}{b+2c^2}+\frac{ca^2}{c+2a^2}\right)\)
\(=(a+b+c)-2\left(\frac{ab^2}{a+b^2+b^2}+\frac{bc^2}{b+c^2+c^2}+\frac{ca^2}{c+a^2+a^2}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương:
\(\text{VT}\geq (a+b+c)-2\left(\frac{ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}}+\frac{bc^2}{3\sqrt[3]{bc^4}}+\frac{ca^2}{3\sqrt[3]{ca^4}}\right)\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq (a+b+c)-\frac{2}{3}(\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2})\)
Áp dụng BĐT Cauchy tiếp:
\(\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2}\leq \frac{ab+ab+1}{3}+\frac{bc+bc+1}{3}+\frac{ca+ca+1}{3}\)
\(=\frac{2(ab+bc+ac)+3}{3}\leq \frac{2.\frac{(a+b+c)^2}{3}+3}{3}\)
Do đó: \(\text{VT}\geq (a+b+c)-\frac{2}{3}.\frac{2.\frac{(a+b+c)^2}{3}+3}{3}=1\) do $a+b+c=3$
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
\(\Delta=b^2-4ac\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\\z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left|z_1+z_2\right|^2=\dfrac{b^2}{a^2};\left|z_1-z_2\right|^2=\dfrac{4ac-b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{4c}{a}\) => C
Muốn chứng tỏ rằng ba vecto u → , v → , w → đồng phẳng ta cần tìm hai số thực p và q sao cho w → = p u → + q v →
Giả sử có w → = p u → + q v →
2 c → – 3 a → = p( a → – 2 b → ) + q(3 b → − c → )
⇔ (3 + p) a → + (3q − 2p) b → − (q + 2) c → = 0 → (1)
Vì ba vecto lấy tùy ý a → , b → , c → nên đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi:
Như vậy ta có: w → = −3 u → − 2 v → nên ba vecto u → , v → , w → đồng phẳng.
\(a^2+4b^2=23ab\Rightarrow a^2+4ab+4b^2=27ab\Rightarrow\left(a+2b\right)^2=27ab\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+2b\right)^2}{9}=3ab\)\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+2b}{3}\right)^2=3ab\)
Lấy logarit cơ số c hai vế:
\(log_c\left(\dfrac{a+2b}{3}\right)^2=log_c\left(3ab\right)\)
\(\Rightarrow2log_c\dfrac{a+2b}{3}=log_c3+log_ca+log_cb\)
\(\Rightarrow log_c\dfrac{a+2b}{3}=\dfrac{1}{2}\left(log_ca+log_cb+log_c3\right)\)
Đặt \(A\left(a;a^3-3a^2+2\right);B\left(b;b^3-3b^2+2\right);a\ne b\)
Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A, B là :
\(k_A=y'\left(x_A\right)=3a^2-6a;k_B=y'\left(x_B\right)=3b^2-6b\)
Tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau khi và chỉ khi \(k_A=k_B\)
\(\Leftrightarrow3a^2-6a=3b^2-6b\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow b=2-a\)
Độ dài đoạn AB là :
\(AB=\sqrt{\left(a-b\right)^2+\left[a^3-b^3-3\left(a^2-b^2\right)\right]^2}\)
\(=\sqrt{\left(a-b\right)^2+\left(a-b\right)^2.\left[a^2+ab+b^2-3\left(a+b\right)\right]^2}\)
\(=\sqrt{4\left(a-1\right)^2+4\left(a-1\right)^2\left[\left(a-1\right)^2-3\right]^2}\)
Đăth \(\left(a-1\right)^2=t\) mà \(AB=4\sqrt{2}\Leftrightarrow t+t\left(1-3\right)^2=8\Leftrightarrow\left(t-4\right)\left(t^2-2t+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow t=4\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a-1=2\\a-1=-2\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=3\\a=-1\end{array}\right.\)
* Với \(a=3\Rightarrow b=-1\Rightarrow A\left(3;2\right);B\left(-1;-2\right)\)
* Với \(a=1\Rightarrow b=3\Rightarrow A\left(-1;-2\right);B\left(3;2\right)\)
Vậy \(A\left(-1;-2\right);B\left(3;2\right)\) hoặc \(A\left(3;2\right);B\left(-1;-2\right)\)
Dễ thấy BC → ⊥ AC → , BC ' → ⊥ AC → ' , BB ' → ⊥ AB → ' nên A, B, C, B', C' cùng thuộc mặt cầu tâm I(1/2; 1; 0) là trung điểm của AB, bán kính IA = ( 5 ) /2
Phương trình mặt cầu đó là
Vì điểm C' thuộc mặt cầu, nên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại C' phải vuông góc với IC ' → = (-1/2; 0; 1). Phương trình của mặt phẳng đó là: x - 2(z - 1) = 0 hay x - 2z + 2 = 0
Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)thì bài toán trở thành:
Cho \(x;y;z\in\left[0;1\right]\)và không đồng thời bằng 0.Cm:\(\dfrac{x^2y+y^2z+z^2x+3}{x^{1006}+y^{1006}+z^{1006}}\ge2\)
Ta có: \(x^{1006}\le x^2\) vì \(\Leftrightarrow x^2\left(1-x^{1004}\right)\ge0\)(đúng vì \(0\le x\le1\))
Tương tự ta có: \(x^{1006}+y^{1006}+z^{1006}\le x^2+y^2+z^2\)
( Dấu = xảy ra ở đây là cả 3 số bằng 1 hoặc 2 số bằng 1, 1 số bằng 0)
Lại có:\(x^2y\ge x^2y^2\Leftrightarrow x^2y\left(1-y\right)\ge0\left(true\right)\)
\(\Rightarrow x^2y+y^2z+z^2x\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
( Dấu = xảy ra ở đây là cả 3 số bằng 1, hoặc 2 số bằng 1,1 số bằng 0 ;hoặc chỉ cần 1 số bằng 0,1 số bằng 1)
Giờ ta cần chứng minh:
\(\dfrac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+3}{x^2+y^2+z^2}\ge2\Leftrightarrow\sum\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)\ge0\)(đúng)
(Dấu = xảy ra ở đây là chỉ cần 2 số bằng 1)
Kết hợp cả 3 TH dấu = ta được:BĐT xảy ra khi cả 3 số bằng 1 hoặc 2 số bằng 1; 1 số bằng 0
Đó là x;y;z.Khi đổi về a;b;c thì còn hoán vị cả \(-1;1\)
P/s: rắc rối mỗi cái điểm rơi :V