Question

[Nguyễn Trọng Minh Tín]

Cho hàm số \(y=x^3-3x^2+2\). Tìm 2 điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau đồng thời độ đoạn thẳng A  bằng \(4\sqrt{2}\)

Answer 1

[Bùi Bích Phương]

Đặt \(A\left(a;a^3-3a^2+2\right);B\left(b;b^3-3b^2+2\right);a\ne b\)

Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A, B là :

\(k_A=y'\left(x_A\right)=3a^2-6a;k_B=y'\left(x_B\right)=3b^2-6b\)

Tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau khi và chỉ khi \(k_A=k_B\)

\(\Leftrightarrow3a^2-6a=3b^2-6b\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b-2\right)=0\)

                                    \(\Leftrightarrow b=2-a\)

Độ dài đoạn AB là :

\(AB=\sqrt{\left(a-b\right)^2+\left[a^3-b^3-3\left(a^2-b^2\right)\right]^2}\)

      \(=\sqrt{\left(a-b\right)^2+\left(a-b\right)^2.\left[a^2+ab+b^2-3\left(a+b\right)\right]^2}\)

      \(=\sqrt{4\left(a-1\right)^2+4\left(a-1\right)^2\left[\left(a-1\right)^2-3\right]^2}\)

Đăth \(\left(a-1\right)^2=t\) mà \(AB=4\sqrt{2}\Leftrightarrow t+t\left(1-3\right)^2=8\Leftrightarrow\left(t-4\right)\left(t^2-2t+2\right)=0\)

                                                  \(\Leftrightarrow t=4\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a-1=2\\a-1=-2\end{array}\right.\)

                                                              \(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=3\\a=-1\end{array}\right.\)

* Với \(a=3\Rightarrow b=-1\Rightarrow A\left(3;2\right);B\left(-1;-2\right)\)

* Với \(a=1\Rightarrow b=3\Rightarrow A\left(-1;-2\right);B\left(3;2\right)\)

Vậy \(A\left(-1;-2\right);B\left(3;2\right)\) hoặc \(A\left(3;2\right);B\left(-1;-2\right)\)