Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
M thuộc d nên: \(a-2b-2=0\Rightarrow2b=a-2\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(-a;1-b\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(3-a;4-b\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\left(3-2a;5-2b\right)=\left(3-2a;9-2a\right)\)
Đặt \(T=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\sqrt{\left(3-2a\right)^2+\left(9-2a\right)^2}=\sqrt{8a^2-48a+90}=\sqrt{8\left(a-3\right)^2+18}\ge\sqrt{18}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a-3=0\Leftrightarrow a=3\Rightarrow b=\dfrac{1}{2}\)
\(S=sinx+siny+sin\left(3x+y\right)-sin\left(3x+y\right)-sin\left(x+y\right)\)
\(=sinx+siny-sin\left(x+y\right)\)
\(S^2=\left(sinx+siny-sin\left(x+y\right)\right)^2\le3\left(sin^2x+sin^2y+sin^2\left(x+y\right)\right)\)
\(S^2\le3\left(1-\dfrac{1}{2}\left(cos2x+cos2y\right)+sin^2\left(x+y\right)\right)\)
\(S^2\le3\left[1-cos\left(x+y\right)cos\left(x-y\right)+1-cos^2\left(x-y\right)\right]\)
\(S^2\le3\left[2+\dfrac{1}{4}cos^2\left(x+y\right)-\left[cos\left(x-y\right)-\dfrac{1}{2}cos\left(x+y\right)\right]^2\right]\le3\left[2+\dfrac{1}{4}cos^2\left(x+y\right)\right]\)
\(S^2\le3\left(2+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{27}{4}\)
\(\Rightarrow S\le\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=3\\c=2\end{matrix}\right.\)
Gọi C là giao điểm của AB và \(\Delta\), O là giao điểm IM và AB
Gọi \(I=\left(m;n\right)\Rightarrow IM:x-3y-m+3n=0\)
\(M:\left\{{}\begin{matrix}x-3y-m+3n=0\\x+y=0\end{matrix}\right.\Rightarrow M=\left(\dfrac{m-3n}{4};\dfrac{3n-m}{4}\right)\)
\(\Rightarrow IM=\sqrt{\left(\dfrac{m-3n}{4}-m\right)^2+\left(\dfrac{3n-m}{4}-n\right)^2}=\dfrac{\sqrt{10}\left|m+n\right|}{4}\)
\(d\left(I,\Delta\right)=\dfrac{\left|m+n\right|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\Rightarrow\left|m+n\right|=4\left(1\right)\)
\(\Rightarrow IM=\sqrt{10}\)
Ta có \(IO.IM=IA^2=R^2\Rightarrow IO=\dfrac{IB^2}{IM}=\dfrac{4}{\sqrt{10}}\)
\(d\left(I;AB\right)=\dfrac{\left|3m+n-2\right|}{\sqrt{10}}=\dfrac{4}{\sqrt{10}}\Rightarrow\left|3m+n-2\right|=4\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\&\left(2\right)\) tìm được tọa độ điểm I
Đến đây viết phương trình đường tròn tâm I có bán kính \(R=\sqrt{2}\) là được.
Câu 1:
\(P=4sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}-2\left(2cos^2\frac{C}{2}-1\right)\)
\(P=4cos\frac{C}{2}cos\frac{A-B}{2}-4cos^2\frac{C}{2}+2\)
\(\Leftrightarrow4cos^2\frac{C}{2}-4cos\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}+P-2=0\)
Đặt \(x=cos\frac{C}{2}\)
\(\Rightarrow4x^2-4cos\frac{A-B}{2}.x+P-2=0\) (1)
Do góc C luôn tồn tại \(\Rightarrow\) phương trình (1) luôn có ít nhất 1 nghiệm
\(\Delta'=4cos^2\frac{A-B}{2}-4\left(P-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow4cos^2\frac{A-B}{2}+8\ge4P\Rightarrow P\le cos^2\frac{A-B}{2}+2\le3\)
\(\Rightarrow P_{max}=3\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}A=B\\cos\frac{C}{2}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=B=30^0\\C=120^0\end{matrix}\right.\)
Câu 2: đường tròn tâm \(O\left(1;2\right)\) ; \(R=2\)
Do \(M\in d\Rightarrow M\left(a;a+7\right)\)
\(OM^2=\left(a-1\right)^2+\left(a+5\right)^2=2a^2+8a+26\)
\(\Rightarrow MA^2=MB^2=IM^2-R^2=\left(a-1\right)^2+\left(a+5\right)^2-4=2a^2+8a+22\)
Ta có \(\Delta OAM=\Delta OBM\Rightarrow S_{OAMB}=2S_{OAM}=OA.AM=R.AM\)
Mặt khác do \(OM\perp AB\) (tính chất đường tròn)
\(\Rightarrow S_{OAMB}=AB.OM\)
\(\Rightarrow AB.OM=R.AM\Rightarrow AB^2=\frac{R^2.AM^2}{OM^2}=\frac{4\left(2a^2+8a+22\right)}{2a^2+8a+26}=\frac{4\left(a^2+4a+11\right)}{a^2+4a+13}\)
\(\Rightarrow AB^2=4-\frac{8}{a^2+4a+13}=4-\frac{8}{\left(a+2\right)^2+9}\ge4-\frac{8}{9}=\frac{28}{9}\)
\(\Rightarrow AB_{min}=\frac{2\sqrt{7}}{3}\) khi \(a=-2\Rightarrow b=5\Rightarrow a+b=3\)