Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài IV:
1: Xét tứ giác MAOB có
\(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)
=>MAOB là tứ giác nội tiếp
=>M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn
2: Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của BA
=>MO\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB
Xét ΔMAO vuông tại A có AH là đường cao
nên \(MH\cdot MO=MA^2\left(3\right)\)
Xét (O) có
ΔACD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔACD vuông tại C
=>AC\(\perp\)CD tại C
=>AC\(\perp\)DM tại C
Xét ΔADM vuông tại A có AC là đường cao
nên \(MC\cdot MD=MA^2\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(MA^2=MH\cdot MO=MC\cdot MD\)
3: Ta có: \(\widehat{MAI}+\widehat{OAI}=\widehat{OAM}=90^0\)
\(\widehat{HAI}+\widehat{OIA}=90^0\)(ΔAHI vuông tại H)
mà \(\widehat{OAI}=\widehat{OIA}\)
nên \(\widehat{MAI}=\widehat{HAI}\)
=>AI là phân giác của góc HAM
Xét ΔAHM có AI là phân giác
nên \(\dfrac{HI}{IM}=\dfrac{AH}{AM}\left(5\right)\)
Xét ΔOHA vuông tại H và ΔOAM vuông tại A có
\(\widehat{HOA}\) chung
Do đó: ΔOHA đồng dạng với ΔOAM
=>\(\dfrac{OH}{OA}=\dfrac{HA}{AM}\)
=>\(\dfrac{OH}{OI}=\dfrac{AH}{AM}\left(6\right)\)
Từ (5) và (6) suy ra \(\dfrac{OH}{OI}=\dfrac{IH}{IM}\)
=>\(HO\cdot IM=IO\cdot IH\)
\(A=\sqrt{2a\left(b+1\right)}+\sqrt{2b\left(c+1\right)}+\sqrt{2c\left(a+1\right)}\)
\(A=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{4a\left(b+1\right)}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{4b\left(c+1\right)}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{4c\left(a+1\right)}\)
\(A\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(4a+b+1\right)+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(4b+c+1\right)+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(4c+a+1\right)\)
\(A\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left[5\left(a+b+c\right)+3\right]=2\sqrt{2}\)
\(A_{max}=2\sqrt{2}\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Bài 9:
1: \(y=x^2+2\ge2\forall x\)
Dấu '=' xảy ra khi x=0
2: \(y=x^2-2x+3\)
\(=x^2-2x+1+2\)
\(=\left(x-1\right)^2+2\ge2\forall x\)
Dấu '=' xảy ra khi x=1
b.
\(\left\{{}\begin{matrix}BD\perp AC\\CE\perp AB\end{matrix}\right.\) đồng thời H là giao điểm BD, CE
\(\Rightarrow H\) là trực tâm tam giác ABC
\(\Rightarrow AF\) là đường cao thứ 3 \(\Rightarrow\widehat{AFC}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{FAC}+\widehat{FCA}=180^0-\widehat{AFC}=90^0\) (1)
ADHE nội tiếp đường tròn đường kính AH, mà M là trung điểm AH
\(\Rightarrow M\) là tâm đường tròn đường kính AH
\(\Rightarrow MA=MD\Rightarrow\Delta MAD\) cân tại M
\(\Rightarrow\widehat{FAC}=\widehat{MDA}\) (2)
D, C cùng thuộc (O) \(\Rightarrow OD=OC\Rightarrow\Delta OCD\) cân tại O
\(\Rightarrow\widehat{FCA}=\widehat{ODC}\) (3)
(1);(2);(3) \(\Rightarrow\widehat{MDA}+\widehat{ODC}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{MDO}=180^0-\left(\widehat{MDA}+\widehat{ODC}\right)=90^0\)
\(\Rightarrow MD\perp OD\)
\(\Rightarrow MD\) là tiếp tuyến tại D của (O)