Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)
\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)
\(\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)
\(P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Lời giải:
Bạn nhớ tới bổ đề sau: Với $a,b>0$ thì $a^3+b^3\geq ab(a+b)$.
Áp dụng vào bài:
$5a^3-b^3\leq 5a^3-[ab(a+b)-a^3]=6a^3-ab(a+b)$
$\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{6a^3-ab(a+b)}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-ab-b^2}{3a+b}=\frac{(3a+b)(2a-b)}{3a+b}=2a-b$
Tương tự:
$\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a$
Cộng theo vế:
$\Rightarrow \text{VT}\leq a+b+c=3$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Đặt\(P=\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2+}+\dfrac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)
Bổ đề: \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) (1)
Chứng minh bổ đề: \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\sqrt[3]{abc.\dfrac{1}{abc}}=9\left(\forall a,b,c\ge0\right)\)
Kết hợp điều kiện đề bài ta được: \(a+b+c\ge3\)
Ta có: \(\dfrac{ab^2}{1+b^2}\le\dfrac{ab^2}{2\sqrt{b^2}}=\dfrac{ab}{2}\) ( AM-GM cho 2 số không âm 1 và b^2 )
\(\Rightarrow\dfrac{a}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\dfrac{ab}{2}\left(1\right)\)
Chứng minh hoàn toàn tương tự: \(\dfrac{b}{1+c^2}\ge b-\dfrac{bc}{2}\left(2\right)\)
\(\dfrac{c}{1+a^2}\ge c-\dfrac{ca}{2}\left(3\right)\)
Cộng (1),(2),(3) vế theo vế thu được: \(P\ge a+b+c=3\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1
iải của
Tách biểu thức như sau:
\(\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{12}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{8}{abc}\right)+\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{b}{24}+\dfrac{2}{ab}\right)+\left(\dfrac{b}{16}+\dfrac{c}{8}+\dfrac{2}{bc}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{2}{ca}\right)+\left(\dfrac{13a}{18}+\dfrac{13b}{24}\right)+\left(\dfrac{13b}{48}+\dfrac{13c}{24}\right)\)
Đầu tiên em phải dự đoán được điểm rơi (các cặp a;b;c đẹp sao cho \(ab=12\) và \(bc=8\), có các bộ là \(\left(6;2;4\right);\left(3;4;2\right)\)
Sau đó thay 2 bộ kia vào P xem cái nào bằng \(\dfrac{121}{12}\) thì nó đúng (ở đây là 3;4;2)
Khi có điểm rơi, bây giờ chỉ cần tính toán và ghép theo AM-GM để khử tử- mẫu
Cần ghép \(\dfrac{8}{abc}+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}\) (AM-GM 4 số sẽ khử hết biến)
\(\dfrac{8}{abc}=\dfrac{8}{3.4.2}=\dfrac{1}{3}\)
Do đó \(\dfrac{3}{x}=\dfrac{4}{y}=\dfrac{2}{z}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=9;y=12;z=6\)
Hay ta có bộ đầu tiên: \(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{12}+\dfrac{c}{6}+\dfrac{8}{abc}\)
Tương tự cho các biến dưới mẫu còn lại, phần dư cuối cùng sẽ ghép cặp a với b (tận dụng \(ab\ge12\)) và b với c, nó sẽ tự đủ
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{y}{x};\dfrac{z}{y};\dfrac{x}{z}\right)\)
\(\Rightarrow VT=\dfrac{1}{\dfrac{y}{x}\left(\dfrac{z}{y}+1\right)}+\dfrac{1}{\dfrac{z}{y}\left(\dfrac{x}{z}+1\right)}+\dfrac{1}{\dfrac{x}{z}\left(\dfrac{y}{x}+1\right)}\)
\(VT=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}=\dfrac{x^2}{xy+xz}+\dfrac{y^2}{xy+yz}+\dfrac{z^2}{xz+yz}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{3\left(xy+yz+zx\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\dfrac{3}{2}\)
b, \(\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}\ge1\)
\(\frac{a^4}{ab+2ac}+\frac{b^4}{bc+2ab}+\frac{c^4}{ac+2bc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac+2ac+2ab+2bc}\)( Bunhia dạng phân thức )
mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{3+2\left(ab+ac+bc\right)}=\frac{9}{3+6}=1\)( đpcm )
1.
Điều kiện .
Phương trình tương đương với \\
Với ta có:
.
Suy ra .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
2.
Đặt
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương và ta có
.
Tương tự , .
Cộng các vế ta có .
Mà nên (ta có đpcm).
