Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c+d=x>0\\a+c+d=y>0\\a+b+d=z>0\end{cases}}\)và \(a+b+c=t>0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{y+z+t-2x}{3}\\b=\frac{x+z+t-2y}{3}\\c=\frac{x+y+t-2z}{3}\end{cases}}\)và \(d=\frac{x+y+z-2t}{3}\)
Từ đó ta có:\(Q=\frac{y+z+t-2x}{3x}+\frac{x+z+t-2y}{3y}+\frac{x+y+t-2z}{3z}+\frac{x+y+z-2t}{3t}\)
\(=\frac{y}{3x}+\frac{z}{3x}+\frac{t}{3x}-\frac{2}{3}+\frac{x}{3y}+\frac{z}{3y}+\frac{t}{3y}-\frac{2}{3}+\frac{x}{3z}+\frac{y}{3z}+\frac{t}{3z}-\frac{2}{3}+\frac{x}{3t}+\frac{y}{3t}+\frac{z}{3t}-\frac{2}{3}\)
\(=\left(\frac{y}{3x}+\frac{x}{3y}\right)+\left(\frac{z}{3x}+\frac{x}{3z}\right)+\left(\frac{t}{3x}+\frac{x}{3t}\right)+\left(\frac{z}{3y}+\frac{y}{3z}\right)+\left(\frac{t}{3y}+\frac{y}{3t}\right)+\left(\frac{t}{3z}+\frac{z}{3t}\right)-\frac{8}{3}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta được:
\(\frac{y}{3x}+\frac{x}{3y}\ge2\sqrt{\frac{y}{3x}.\frac{x}{3y}}=\frac{2}{3}\)
CMTT \(\Rightarrow Q\ge\frac{4}{3}\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d\)
Ta có: \(\frac{a}{a+b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(1\right)\)
Mặt khác: \(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(3\right)\)
Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\left(4\right)\)
\(\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a}< \frac{b+c}{a+b+c+d}\left(5\right)\)
\(\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{b+d+a}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\left(6\right)\)
Cộng vế với vế (3);(4);(5);(6) ta có:
\(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\left(đpcm\right)\)
Đặt A = a/a+b+c + b/b+c+d + c/c+d+a + d/d+a+b
A > a/a+b+c+d + b/a+b+c+d + c/a+b+c+d + d+a+b+c+d
A > a+b+c+d/a+b+c+d = 1 (1)
Áp dụng a/b < 1 <=> a/b < a+m/b+m (a;b;m > 0) ta có:
A < a+d/a+b+c+d + a+b/a+b+c+d + b+c/a+b+c+d + c+d/a+b+c+d
A < 2.(a+b+c+d)/a+b+c+d
A < 2
Từ (1) và (2) => đpcm
nguồn:soyeon_Tiểubàng giải
Câu 1 bạn cộng vào A 4 đơn vị còn mỗi phân thức bên vế phải thì cộng mỗi cái bàng một đơn vị, sau đó sẽ có 2 phân thức tử bằng a+b và 2 phân thức tử bằng c+d, bạn đặt ra ngoài làm nhân tử chung, bên trong ngoặc sẽ là 1/a+b + 1/b+c, bạn áp dụng bất đẳng thức 1/a + 1/b >= 4/a+b sẽ được bên trong ngoặc là 4/a+b+c+d, nhân 2 cái ở ngoài vào, rút gọn phân thức đi sẽ được kết quả là A+4 >= 4 nên A>=0
Có: \(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{a}=\frac{a}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{9a}+\frac{8\left(b+c+d\right)}{9a}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{a}{b+c+d}.\frac{b+c+d}{9a}}+\frac{8\left(b+c+d\right)}{9a}\)
\(=\frac{2}{3}+\frac{8\left(b+c+d\right)}{9a}\)
Tương tự ba BĐT còn lại và cộng theo vế thu được:
\(\Sigma_{cyc}\left(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{a}\right)=\frac{8}{3}+\frac{8}{9}\left(\frac{b+c+d}{a}+\frac{c+d+a}{b}+\frac{d+a+c}{c}+\frac{a+b+c}{d}\right)\)
\(\ge\frac{8}{3}+\frac{32}{9}\sqrt[4]{\frac{\left(b+c+d\right)\left(c+d+a\right)\left(d+a+c\right)\left(a+b+c\right)}{abcd}}\)
\(\ge\frac{8}{3}+\frac{32}{9}\sqrt[4]{\frac{3^4.abcd}{abcd}}=\frac{40}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b =c = d
P/s: Tính sai chỗ nào tự sửa nhá, dạo này hay nhầm lắm!
2/ \(=\left(x^2-2xy+y^2+4x-4y+4\right)+\left(y^2+2y+1\right)+2016\)
\(=\left(x-y+2\right)^2+\left(y+1\right)^2+2016\ge2016\)
Vậy Min A =2016 khi\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=-2\\y=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-1\end{matrix}\right.\)
Áp dụng tính chất tỉ số ta có: \(\frac{a+b+d}{a+b+c+d}>\frac{a+b}{a+b+c}>\frac{a+b}{a+b+c+d}\left(1\right)\)
Tương tự: với b,c rồi cộng vế theo vế có ĐPCM
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)
\(>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}\)
\(=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\).
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{c}{c+d+a}< \frac{a}{a+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{a+c}{c+a}=1\)
\(\frac{b}{b+c+d}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{b}{b+d}+\frac{d}{d+b}=\frac{b+d}{d+b}=1\)
Suy ra đpcm.
\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)
Làm tương tự với 3 cái sau và cộng lại ta sẽ có BĐT bên trái
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)
Làm tương tự với 3 cái sau và cộng lại ta sẽ có BĐT bên phải
2/\(H=\left(x^2+y^2+1-2x+2y-2xy\right)+\left(x^2+2x+1\right)+2019\)
\(H=\left(x-y-1\right)^2+\left(x+1\right)^2+2019\ge2019\)
\(H_{min}=2019\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\x-y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=-2\end{matrix}\right.\)