Chứng minh rằng , nếu : \(\frac{a}{b}\)= \(\frac{b}{c}\)= \(\frac{c}{a}\)thì a = b = c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LN
3
4 tháng 12 2019
Ta có a/b =b/c
=> a^2/b^2=a/b.a/b= a/b.b/c=a/c(1)
Lại có a/b=b/c
=> a^2/b^2=b^2/c^2=a^2+b^2 / b^2+c^2 (t/c dãy tỉ số = nhau) (2)
Từ (1),(2) => a/c=a^2+b^2 / b^2+c^2
4 tháng 12 2019
Ta có \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)=> \(\left(\frac{a}{b}\right)^2=\left(\frac{b}{c}\right)^2\)
=> \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)mà \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)
=> \(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}=\frac{a}{c}\)
26 tháng 11 2019
Đặt \(\left(\frac{a-b}{c},\frac{b-c}{a},\frac{c-a}{b}\right)=\left(x,y,z\right)\)
Khi đó :
\(Q=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\)
Ta có :
\(x+y=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}=\frac{a^2-ab+bc-c^2}{ac}=\frac{b\left(c-a\right)-\left(c-a\right)\left(c+a\right)}{ca}\)
\(=\frac{b\left(c-a\right)-\left(c-a\right)\left(-b\right)}{ac}=\frac{2b\left(c-a\right)}{ca}\) ( do \(a+b+c=0\))
\(\Rightarrow\frac{x+y}{z}=\frac{2b\left(c-a\right)}{ca}.\frac{b}{c-a}=\frac{2b^2}{ca}=\frac{2b^3}{abc}\)
Hoàn toàn tương tự
\(\frac{y+z}{x}=\frac{2c^3}{abc};\frac{x+z}{y}=\frac{2a^3}{abc}\)
Do đó :
\(Q=3+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}=3+\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}=3\)
\(=3+\frac{2\left[\left(-c\right)^3-3ab\left(-c\right)^3+c^3\right]}{abc}=3+\frac{2.3abc}{abc}=3+6=9\)
Ta có đpcm
LH
22 tháng 4 2019
*Đặt P = (a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b, ta có:
P = (a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b
=> abc.P = ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)
= ab(a-b) + bc(b-a + a-c) + ca(c-a)
= ab(a-b) - bc(a-b) - bc(c-a) + ca(c-a)
= b(a-b)(a-c) + c(c-a)(a-b)
= (a-b)(a-c)(b-c)
=> P = (a-b)(a-c)(b-c)/abc
*Đặt Q = c/(a-b) + a/(b-c) + b/(c-a), ta có:
Vì a+b+c = 0 => a+b = -c ; b+c = -a ; c+a = -b
Q = c/(a-b) + a/(b-c) + b/(c-a)
=> (a-b)(b-c)(c-a).Q = c(b-c)(c-a) + a(a-b)(c-a) + b(a-b)(b-c)
= c(b-c)(c-a) + (-b-c)(a-b)(c-a) + b(a-b)(b-c)
= c(b-c)(c-a) – c(a-b)(c-a) – b(a-b)(c-a) + b(a-b)(b-c)
= c(c-a)(2b-a-c) + b(a-b)(a+b-2c)
= 3bc(c-a) – 3bc(a-b)
= 3bc(b+c-2a)
= 3bc(-a-2a)
= -9abc
=> Q = -9abc/(a-b)(b-c)(c-a) = 9abc /(a-b)(b-c)(a-c)
Vậy P.Q = 9 (đpcm)
12 tháng 9 2017
Gọi \(M=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\)
Ta có : \(M.\frac{c}{a-b}=1+\frac{c}{a-b}\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)=+\frac{c}{a-b}\left(\frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\right)\)
\(=1+\frac{c}{a-b}.\frac{\left(a-b\right)\left(c-a-b\right)}{ab}=1+\frac{2c^2}{ab}=1+\frac{2c^3}{abc}\)
Tương tự : \(M.\frac{a}{b-c}=1+\frac{2a^3}{abc};M.\frac{b}{c-a}=+\frac{2b^3}{abc}\)
\(\Rightarrow A=3+\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}=9\)(vì \(a^3+b^3+c^3=3abc\))
HT
16 tháng 6 2016
1,
\(\frac{a+2}{a-2}=\frac{b+3}{b-3}\)
<=> (a - 2)(b + 3) = (a + 2)(b - 3)
<=> ab + 3a - 2b - 6 = ab - 3a + 2b - 6
<=> 3a - 2b = -3a + 2b
<=> 6a = 4b
<=> 3a = 2b
<=> \(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}\)(Đpcm)
HT
16 tháng 6 2016
2,
Có:
\(\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}\)
\(=\frac{abz-acy}{a^2}=\frac{bcx-baz}{b^2}=\frac{cay-cbx}{c^2}\)
\(=\frac{abz-acy+bcx-baz+cay-cbx}{a^2+b^2+c^2}=0\)
=> bz - cy = 0
=> bz = cy
=> \(\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)(1)
=> cx - az = 0
=> cx = az
=> \(\frac{c}{z}=\frac{a}{x}\)(2)
Từ (1) và (2)
=> \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)(Đpcm)
NN
2
24 tháng 3 2017
\(\frac{a}{b}.\frac{a}{c}=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\)
Xét Hiệu : \(\frac{a}{b}.\frac{a}{c}-\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)\)
\(=\frac{a^2}{bc}-\frac{ac+ab}{bc}\)
\(=\frac{a^2}{bc}-\frac{a\left(c+b\right)}{bc}\)
\(=\frac{a^2}{bc}-\frac{a^2}{bc}\) \(\left(c+b=a\right)\)
\(=0\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}.\frac{a}{c}=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\) (ĐPCM)
NN
24 tháng 3 2017
Ta có:
\(VT=\frac{a}{b}.\frac{a}{c}=\frac{aa}{bc}=\frac{a^2}{bc}\)
\(VP=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}=\frac{ac}{bc}+\frac{ab}{bc}=\frac{a\left(c+b\right)}{bc}=\frac{aa}{bc}=\frac{a^2}{bc}\)
\(\Rightarrow VT=VP\)
Vậy nếu \(c+b=a\) thì \(\frac{a}{b}.\frac{a}{c}=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\) (Đpcm)
LC
1 tháng 5 2016
Đặt \(\frac{a-b}{c}=x,\frac{b-c}{a}=y,\frac{c-a}{b}=z\)
=>\(\frac{c}{a-b}=\frac{1}{x},\frac{a}{b-c}=\frac{1}{y},\frac{b}{c-a}=\frac{1}{z}\)
=>\(A=\left(x+y+z\right).\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
=>\(A=x.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+y.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+z.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
=>\(A=1+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+1+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+1\)
=>\(A=3+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\)
Ta thấy: \(\frac{y+z}{x}=\frac{\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}}{\frac{a-b}{c}}=\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right):\frac{a-b}{c}=\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right).\frac{c}{a-b}\)
\(=\left[\frac{\left(b-c\right).b}{a.b}+\frac{\left(c-a\right).a}{a.b}\right].\frac{c}{a-b}=\left(\frac{b^2-bc}{ab}+\frac{ac-a^2}{ab}\right).\frac{c}{a-b}\)
\(=\left(\frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\right).\frac{c}{a-b}=\left[\frac{\left(ac-bc\right)-\left(a^2-b^2\right)}{ab}\right].\frac{c}{a-b}\)
\(=\left[\frac{c.\left(a-b\right)-\left(a+b\right).\left(a-b\right)}{ab}\right].\frac{c}{a-b}=\left[\frac{\left(c-a-b\right).\left(a-b\right)}{ab}\right].\frac{c}{a-b}\)
\(=\frac{c-a-b}{ab}.\left(a-b\right).\frac{c}{a-b}=\frac{c-a-b}{ab}.c=\left(c-a-b\right).\frac{c}{ab}=\left(2c-a-b-c\right).\frac{c}{ab}\)
Vì a+b+c=0=>2a-(a+b+c)=2c=>2c-a-b-c=2c
=>\(\frac{y+z}{x}=\left(2c-a-b-c\right).\frac{c}{ab}=2c.\frac{c}{ab}=\frac{2c^2}{ab}=\frac{2c^3}{abc}\)
=>\(\frac{y+z}{x}=\frac{2c^3}{abc}\)
Chứng minh tương tự, ta có:
\(\frac{z+x}{y}=\frac{2a^3}{abc},\frac{x+y}{z}=\frac{2b^3}{abc}\)
=>\(A=3+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}=3+\frac{2c^3}{abc}+\frac{2a^3}{abc}+\frac{2b^3}{abc}\)
=>\(A=3+\frac{2c^3+2a^3+2b^3}{abc}=3+\frac{2.\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}\)
Lại có:
Áp dụng bất đẳng thức, ta có: \(\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=>a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3a^2b-3ab^2\)
=>\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3abc-3a^2b-3ab^2\)
\(=\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-3ab.\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right).\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right).c+c^2\right]-3ab.\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right).\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right).c+c^2-3ab\right]\)
Vì a+b+c=0
=>\(\left(a+b+c\right).\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right).c+c^2-3ab\right]=0\)
=>\(a^3+b^3+c^3-3abc=0=>a^3+b^3+c^3=3abc\)
Thay vào A, ta có:
\(A=3+\frac{2.\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}=3+\frac{2.3abc}{abc}=3+2.3=3+6=9\)
=>ĐPCM
HT
2 tháng 5 2016
Từ chỗ lại có bạn làm hơi dài mình sẽ làm cách khác ngắn hơn
Xét \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b\right)^3-3a^2b-3ab^2+c^3\)
\(=\text{[}\left(a+b\right)^3+c^3\text{]}-3ab\left(a+b\right)\) (I)
Mà \(\text{ }a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\) thay vào (I) , ta được
\(a^3+b^3+c^3=\text{[}\left(-c\right)^3+c^3\text{]}-3ab\left(-c\right)\)
\(=3abc\)
Sau đó thay vào rồi tính
9 tháng 4 2017
Tự nghĩ nha, đây là 1 dạng của bất đảng thức:\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)
Cố gắng đưa bài toán của bạn về dấu bằng kia
Cách CM xem trang 43, nâng cao phát triển toán 8 tập 2.
MÌNH GỢI Ý GẦN HẾT RỒI, BẠN TỰ CM NỐT RỒI BẤM ĐÚNG CHO MÌNH NHÉ
Ta có :
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)
Suy ra :
\(\frac{a}{b}=1\Rightarrow a=b\) \(\left(1\right)\)
\(\frac{b}{c}=1\Rightarrow b=c\) \(\left(2\right)\)
\(\frac{c}{a}=1\Rightarrow c=a\) \(\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) suy ra : \(a=b=c\)
Vậy nếu \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\) thì \(a=b=c\)
Năm mới zui zẻ nhá ^^