K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

13 tháng 12 2017

Ta có: \(a^2+ab+b^2\)

        \(=\left(a+b\right)^2-ab\ge\left(a+b\right)^2-\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)\)

Tương tự, ta có:  \(\sqrt{b^2+bc+c^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(b+c\right)\)

                            \(\sqrt{c^2+ca+a^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(c+a\right)\)

Do đó ta có: \(Q\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+b+c+c+a\right)=\sqrt{3}\)       ( Do a+b+c=1)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

19 tháng 5 2017

ko khó nhưng mà bn đăng từng câu 1 hộ mk mk giải giúp cho

9 tháng 8 2020

gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)

=> Thay vào thì     \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)

\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)

Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào

=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)

=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\) 

2 tháng 10 2018

Ta có: \(\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)\)

Tương tự: \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(b+c\right)\)

\(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(c+a\right)\)

\(P\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)+\dfrac{1}{2}\left(b+c\right)+\dfrac{1}{2}\left(c+a\right)=a+b+c=2019\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 673

2 tháng 10 2018

Ta có: a2-ab+b2 = \(\dfrac{1}{4}\)(a+b)2+3(a-b)2\(\ge\)\(\dfrac{1}{4}\)(a+b)2

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\dfrac{1}{2}\)(a+b)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) a=b

CMTT ta có: \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\)\(\ge\dfrac{1}{2}\)(b+c) \(\Leftrightarrow\) b=c

\(\sqrt{c^2-ca+c^2}\)\(\ge\dfrac{1}{2}\left(c+a\right)\Leftrightarrow\)c=a

\(\Rightarrow\) P\(\ge\) \(\dfrac{1}{2}2\left(a+b+c\right)\)= 2019

Vậy Pmin = 2019

Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow\)a=b=c=673

2 tháng 10 2021

\(1,\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopski:

\(A^2=\left(\sqrt{3-x}+\sqrt{x+7}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(3-x+x+7\right)=2\cdot10=20\)

Dấu \("="\Leftrightarrow3-x=x+7\Leftrightarrow x=-2\)

 

2 tháng 10 2021

\(A^2=3-x+x+7+2\sqrt{\left(3-x\right)\left(x+7\right)}\\ A^2=10+2\sqrt{\left(3-x\right)\left(x+7\right)}\ge10\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left(3-x\right)\left(x+7\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-7\end{matrix}\right.\)

30 tháng 12 2018

Có lẽ là BĐT Cô-si

cứ cho a,b,c>0 thì phải nghĩ ngay đến BĐT cô-si

30 tháng 12 2018

\(A=\frac{a}{\sqrt{3+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{3+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{3+c^2}}\)

\(=\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+bc+ca+ab}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ca+ab+bc}}\)

\(=\frac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}+\frac{\sqrt{c}\cdot\sqrt{c}}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

\(=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+b}}\cdot\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c+a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b+c}}\cdot\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+b}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c+a}}\cdot\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c+b}}\)

\(\le\frac{\frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}}{2}+\frac{\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}}{2}+\frac{\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c}}{2}\)

\(=\frac{\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}}{2}=\frac{3}{2}\)

Vậy Max A = 3/2 khi a = b = c = 1. (Max not Min) 

3 tháng 2 2019

\(1,\hept{\begin{cases}10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0\left(1\right)\\3x^2-2y^2+5xy-17x-6y+20=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Giải (1) : \(10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0\)

\(\Leftrightarrow10x^2-2x\left(y+19\right)+5y^2-6y+41=0\)

Coi pt trên là pt bậc 2 ẩn x

Có \(\Delta'=\left(y+19\right)^2-50y^2+60y-410\)

           \(=-49y^2+98y-49\)

           \(=-49\left(y-1\right)^2\)

pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)

                      \(\Leftrightarrow-49\left(y-1\right)^2\ge0\)

                      \(\Leftrightarrow y=1\)

Thế vào pt (2) được x = 2

           

3 tháng 2 2019

\(2,\)Đặt\(\left(a\sqrt{a};b\sqrt{b};c\sqrt{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\left(x,y,z>0\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx=1\)

Khi đó \(P=\frac{x^4}{x^2+y^2}+\frac{y^4}{y^2+z^2}+\frac{z^4}{x^2+z^2}\)

Áp dụng bđt \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\left(x;y;z>0\right)\left(Cauchy-engel-type_3\right)\)được

\(P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)

Áp dụng bđt x2 + y2 + z2 > xy + yz + zx (tự chứng minh) ta được

\(P\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\ge\frac{xy+yz+zx}{2}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy+yz+zx=1\\x=y=z\end{cases}}\)

                        \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

                        \(\Leftrightarrow\sqrt{a^3}=\sqrt{b^3}=\sqrt{c^3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

                       \(\Leftrightarrow a^3=b^3=c^3=\frac{1}{3}\)

                       \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)

Vậy \(P_{min}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)

5 tháng 12 2018

Ta có: \(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\dfrac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\sqrt{\dfrac{5}{4}}\left(a+b\right)\)

Cmtt ta có: \(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\sqrt{\dfrac{5}{4}}\left(b+c\right)\)

\(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\sqrt{\dfrac{5}{4}}\left(c+a\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = \(\dfrac{1}{9}\)

NV
29 tháng 3 2023

\(Q=\dfrac{2a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)

\(=\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{2a}{a+b}.\dfrac{2a}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{2b}{a+b}.\dfrac{b}{2\left(b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+c}.\dfrac{c}{2\left(b+c\right)}}\)

\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2a}{a+b}+\dfrac{2a}{a+c}+\dfrac{2b}{a+b}+\dfrac{b}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{2c}{a+c}+\dfrac{c}{2\left(b+c\right)}\right)\)

\(=\dfrac{9}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{7}{\sqrt{15}};\dfrac{1}{\sqrt{15}};\dfrac{1}{\sqrt{15}}\right)\)