Question

[vinh bth]

Answer 1

[Nguyễn Thị Thương Hoài]

Olm chào em, đây là toán nâng cao chuyên đề dãy số có quy luật, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

        Giải

A = \(\dfrac{3}{4}\) + \(\dfrac{8}{9}\) + \(\dfrac{15}{16}\) + ... + \(\dfrac{9999}{10000}\)

A = \(\dfrac{3}{2^2}\) + \(\dfrac{8}{3^2}\) + \(\dfrac{15}{4^2}\) + ... + \(\dfrac{9999}{100^2}\)

Xét dãy số: 2; 3; 4;...; 100

Dãy số trên là dãy số có quy luật, khoảng cách của dãy số là:

           3 - 2 = 1

số số hạng của dãy số trên là:(100 - 2) : 1 + 1` = 99

Vậy A gồm 99 hạng tử

Khi đó ta có:

A = 1 - \(\dfrac{1}{4}\) + 1 - \(\dfrac{1}{9}\) + ... + 1 - \(\dfrac{1}{10000}\)

A = (1 + 1  +... + 1) - (\(\dfrac{1}{4}\) + \(\dfrac{1}{9}\) + ... + \(\dfrac{1}{10000}\))

A = 1 x 99  - (\(\dfrac{1}{2^2}\) + \(\dfrac{1}{3^2}\) + .. + \(\dfrac{1}{100^2}\))

Đặt B = \(\dfrac{1}{2^2}\) + \(\dfrac{1}{3^2}\) + ...+ \(\dfrac{1}{100^2}\) 

\(\dfrac{1}{2^2}\) < \(\dfrac{1}{1.2}\) = \(\dfrac{1}{1}\) - \(\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1}{3^2}\) < \(\dfrac{1}{2.3}\) = \(\dfrac{1}{2}\) - \(\dfrac{1}{3}\)

\(.....................\)

\(\dfrac{1}{100^2}\) < \(\dfrac{1}{99.100}\) = \(\dfrac{1}{99}\) - \(\dfrac{1}{100}\)

Cộng vế với vế ta có: 

B < \(\dfrac{1}{1}\) - \(\dfrac{1}{2}\) + \(\dfrac{1}{2}\) - \(\dfrac{1}{3}\) + ... + \(\dfrac{1}{99}\) - \(\dfrac{1}{100}\)

B < \(\dfrac{1}{1}\) - \(\dfrac{1}{100}\)

A = 99 - B

A > 99 - (1 - \(\dfrac{1}{100}\))

A > 99 - 1  + \(\dfrac{1}{100}\)

A = 98 + \(\dfrac{1}{100}\) > 98

Vậy A > 98