chứng minh tồn tại số nguyên dương n sao cho 3^n-1 chia hết cho 2023
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DA
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 3 2021
Xét bộ gồm 2016 số: \(2^1;2^2;...;2^{2016}\)
Do 2017 nguyên tố đồng thời \(2^k\) là lũy thừa của 1 số nguyên tố khác 2017 nên \(2^k\) ko chia hết 2017 với mọi k
Do đó tất cả các số trong bộ số nói trên đều ko chia hết 2017
- Nếu các số trong dãy trên chia 2017 có số dư đôi một khác nhau \(\Rightarrow\) có 2016 số dư \(\Rightarrow\) có đúng 1 số chia 2017 dư 1, giả sử đó là \(2^n\) thì \(2^n-1⋮2017\)
- Nếu tồn tại 2 số trong 2016 số trên có cùng số dư khi chia 2017 là \(2^i\) và \(2^j\) với \(1\le i< j\le2016\Rightarrow1\le j-i< 2016\)
\(\Rightarrow2^j-2^i⋮2017\)
\(\Rightarrow2^i\left(2^{j-i}-1\right)⋮2017\)
\(\Rightarrow2^{j-i}-1⋮2017\) (do \(2^i\) ko chia hết 2017)
\(\Rightarrow n=j-i\) thỏa mãn yêu cầu
HN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2023
Lời giải:
Cho $n=1$ thì $2023^n-1=2023^1-1=2022\vdots 2022$
Thực chất là với mọi số $n\in\mathbb{N}$ thì $2023^n-1\vdots 2022$
21 tháng 10 2023
cccccccccccchhhhhhhhhhhhhiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiuuuuuuuuuuuuuuuuuu
B
Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn 2n+11 chia hết cho 2k-1.
1
DD
29 tháng 6 2023
Để tìm tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện đã cho, ta sẽ giải phương trình theo n.
2n + 11 chia hết cho 2k - 1 có nghĩa là tồn tại một số nguyên dương m sao cho:
2n + 11 = (2k - 1)m
Chuyển biểu thức trên về dạng phương trình tuyến tính:
2n - (2k - 1)m = -11
Ta nhận thấy rằng nếu ta chọn một số nguyên dương nào đó, ta có thể tìm được một số nguyên dương k tương ứng để phương trình trên có nghiệm. Do đó, ta chỉ cần tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn phương trình trên.
Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng thuật toán Euclid mở rộng (Extended Euclidean Algorithm). Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể tìm được một số giá trị n và k thỏa mãn phương trình bằng cách thử từng giá trị của n và tính giá trị tương ứng của k.
Dưới đây là một số cặp giá trị n và k thỏa mãn phương trình đã cho:
(n, k) = (3, 2), (7, 3), (11, 4), (15, 5), (19, 6), …
Từ đó, ta có thể thấy rằng có vô số giá trị n và k thỏa mãn phương trình đã cho.
10 tháng 2 2018
Tham khảo bài này :
cách 1:
xét 3^k.
chọn k từ 1 đến 999 ta được dãy số
3; 3² ; 3³;...; 3^999
999 số trên khi chia cho 1000 sẽ được 999 số dư
(0,1...999)
xét 2 trh:
trh 1: số dư của các số trong dãy đôi một khác nhau
=> tồn tại một số trong dãy chia 1000 dư 1
=> 3^a -1 chia hết 1000
=> đpcm
trh2: số dư của các số trong dãy không khác nhau đôi một
=> sẽ có it nhất 2 số đồng dư
2 số đó là: 3^m và 3ⁿ (1≤m<n≤999)
=> hiệu của 2 số này chia hết cho 1000
=> 3ⁿ - 3^m = h.1000
mà: 3ⁿ - 3^m = 3^m.(3^(n-m) -1)
lại có: 3^m không chia hết cho 1000
=> 3^(n-m) - 1 chia hết cho 1000
mà 1≤m<n≤999 => 0 ≤ n - m ≤ 999
=> đpcm
vậy tồn tại số k thuộc N sao cho 3^k-1 chia hết 1000
.......... .......
cách 2:
xét k= 2n (n chẵn)
A= 3^(2n) -1
A= (10-1)^n -1
khai triển nhị thức ta đc:
A= 10ⁿ - 1Cn.10^(n-1) + 2Cn.10^(n-2) +...+ (n-2)Cn.10^2 - (n-1)Cn.10 +1 -1
A= 1000.[10^(n-2) -.....(n-3)Cn] + 100.n.(n+1)\2 - 10n
lấy n= 100m
=>B= n.(n+1)\2.100 - 10n
=>B= 1000.(50.101m -m)
=> A chia hết 1000 khi k= 200m
NN
0
27 tháng 8 2019
1) \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)
\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)
Vì \(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮5\)( tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5)
và \(5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)
=> \(a^5-a⋮5\)
Nếu \(a^5⋮5\)=> a chia hết cho 5
NN
0
Xét 2024 số: \(3^1-1,3^2-1,...,3^{2024}-1\). Một số khi chia cho 2023 có 2023 số dư là 0, 1, 2,..., 2022. Do đó, theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại 2 số \(3^i-1\) và \(3^j-1\) có cùng số dư khi chia cho 2023.
Không mất tính tổng quát, giả sử rằng \(1\le i< j\le2024\). Khi đó \(\left(3^j-1\right)-\left(3^i-1\right)⋮2023\)
\(\Leftrightarrow3^j-3^i⋮2023\)
\(\Leftrightarrow3^i\left(3^{j-i}-1\right)⋮2023\)
Vì \(ƯCLN\left(3^i,2023\right)=1\) nên từ đây suy ra \(3^{j-i}-1⋮2023\)
Vậy, tồn tại số nguyên dương \(j-i\) mà \(3^{j-i}-1⋮2023\), ta có đpcm.