Question

[Ngọc Hà]

Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD=AB. Đường vuôn góc với BC tại D cắt AC ở E.

a) Chứng minh: tam giác ABE = tâm giác DBE

b) Gọi AH cắt BE tại N. Chứng minh tam giác ANE là tam giác cân

c) Chứng minh tia AD là tia phân giác của góc HAC

d) So sánh HD và DC

e) Chứng minh: AH + BC > AB + AC

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔBAE vuông tại A và ΔBDE vuông tại D có

BE chung

BA=BD

Do đó: ΔBAE=ΔBDE

b: Ta có: ΔBAE=ΔBDE

=>\(\widehat{ABE}=\widehat{DBE}\)

Ta có: \(\widehat{BNH}+\widehat{EBC}=90^0\)(ΔBHN vuông tại H)

\(\widehat{AEB}+\widehat{ABE}=90^0\)(ΔABE vuông tại A)

mà \(\widehat{EBC}=\widehat{ABE}\)

nên \(\widehat{BNH}=\widehat{AEB}\)

mà \(\widehat{BNH}=\widehat{ANE}\)(hai góc đối đỉnh)

nên \(\widehat{ANE}=\widehat{AEN}\)

=>ΔANE cân tại A

c: Ta có: ΔBAD cân tại B

mà BE là đường phân giác

nên BE\(\perp\)AD

=>NE\(\perp\)AD

Ta có: ΔANE cân tại A

mà AD là đường cao

nên AD là phân giác của góc NAE

=>AD là phân giác của góc HAC

d: Xét ΔAHD và ΔAED có

AH=AE

\(\widehat{HAD}=\widehat{EAD}\)

AD chung

Do đó: ΔAHD=ΔAED
=>HD=ED và \(\widehat{AHD}=\widehat{AED}\)

Ta có: \(\widehat{AHD}=\widehat{AED}\)

mà \(\widehat{AHD}=90^0\)

nên \(\widehat{AED}=90^0\)

=>DE\(\perp\)AC tại E

=>ΔDEC vuông tại E

=>DE<DC

mà DE=HD

nên HD<DC

e:

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC\)

=>\(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)

Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

 \(\left(AH+BC\right)^2=AH^2+BC^2+2\cdot AH\cdot BC\)

\(\left(AB+AC\right)^2=AB^2+AC^2+2\cdot AB\cdot AC=BC^2+2\cdot AB\cdot AC\)

mà \(2\cdot AH\cdot BC=2\cdot AB\cdot AC\left(AH\cdot BC=AB\cdot AC\right)\)

nên \(\left(AH+BC\right)^2-\left(AB+AC\right)^2=AH^2>0\)

=>\(\left(AH+BC\right)^2>\left(AB+AC\right)^2\)

=>AH+BC>AB+AC