Question

[Tạ Đức Minh]

Giúp em câu c bài toán sau ạ: 

Cho (O) lấy M ở ngoài (O) kẻ 2 tiêp tuyến MA, MB đường kính BC, gọi OM cắt BA tại H. tia phân giác của góc BAM cắt MO tại I. Chứng minh:

a) 4 điểm B, O, A, M thuộc 1 đường tròn.

b) AC//OM và MA^2 = MH.MO và OH.M = OC^2.

c) AB.MO : 2 = MB.OA và chứng minh I thuộc đường tròn cố định khi điểm M thay đổi.

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/

Ta có

\(\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^o\)

=> A và B cùng nhìn OM dưới 1 góc \(90^o\) => A và B thuộc đường tròn đường kính OM => B; O; A; M cùng thuộc 1 đường tròn

b/

Ta có

\(\widehat{BAC}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow AC\perp AB\)

Ta có

\(OM\perp AB\) (2 tt cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc với dây cung nối 2 tiếp điểm)

=> AC//OM

Xét tg vuông AMO có 

\(MO\perp AB\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MA^2=MH.MO\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích của hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Xét tg vuông BMO có

\(MO\perp AB\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow OB^2=OH.MO\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích của hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Mà OB=OC (bán kính (O))

\(\Rightarrow OC^2=OH.MO\)

c/ 

Ta có

MA=MB (Hai tt cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm = nhau) (1)

AH=BH (2 tt cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc và chia đôi dây cung nối 2 tiếp điểm)

\(\Rightarrow AH=BH=\dfrac{AB}{2}\) (2)

Xét tg vuông AHO và tg vuông AMO có

\(\widehat{OAH}=\widehat{AMO}\) (cùng phụ với \(\widehat{AOM}\))

=> tg AHO đồng dạng với tg AMO (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{MA}=\dfrac{OA}{MO}\) (3)

Thay (1) và (2) vờ (3)

\(\Rightarrow\dfrac{\dfrac{AB}{2}}{MB}=\dfrac{OA}{MO}\Rightarrow\dfrac{AB}{2MB}=\dfrac{OA}{MO}\Rightarrow\dfrac{AB.MO}{2}-MB.OA\)

Gọi I' là giao của MO với (O), Nối AI'

Ta có

sđ cung AI' = sđ cung BI' (2 tt cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn chia đôi dây cung bị chặn bởi 2 tiếp điểm)

\(sđ\widehat{MAI'}=\dfrac{1}{2}sđcungAI'\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(sđ\widehat{BAI'}=\dfrac{1}{2}sđcungBI'\) (góc nội tiếp đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{MAI'}=\widehat{BAI'}\) => AI' là phân giác của \(\widehat{BAM}\) Mà AI cũng là phân giác của \(\widehat{BAM}\)

Ta có I và I' cùng thuộc MO => \(I\equiv I'\Rightarrow I\in\left(O\right)\) cố định khi M thay đổi