Question

[Tống Lan Phương]

Cho hình thang ABCD có AB//CD.C^=D^=80 độ .hai đường chéo cắt nhau tại I và CID^=60 độ.Phân giác BAI^ CẮT BC tại E.cmr:CE=CD

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

Xét hình thang ABCD có

\(\widehat{C}=\widehat{D}=80^o\) => ABCD là hình thang cân => AD=BC

\(\Rightarrow\widehat{A}=180^o-\widehat{D}=180^o-80^o=100^o\) (Hai góc trong cùng phía)

Tương tự ta cũng có \(\widehat{B}=100^o\)

\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}=100^o\)

Xét tg ABC và tg ABD có

AD=BC (cmt)

\(\widehat{A}=\widehat{B}\) (cmt)

AB chung

=> tg ABD = tg ABC (c.g.c) \(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{ACB}\)

Mà \(\widehat{ADB}+\widehat{BDC}=\widehat{ADC}=180^o=\widehat{BCD}=\widehat{ACB}+\widehat{ACD}\)

\(\Rightarrow\widehat{BDC}=\widehat{ACD}=\left(180^o-\widehat{CID}\right):2=60^o\)

=> tg CID là tg đều => CD=CI (1)

Xét tg ABI có

\(\widehat{BAC}=\widehat{ACD}=60^o\) (góc so le trong)

\(\widehat{ABD}=\widehat{BDC}=60^o\) (góc so le trong)

\(\widehat{AIB}=\widehat{CID}=60^o\) (góc đối đỉnh)

=> tg ABI là tg đều

Ta có AE là phân giác \(\widehat{BAI}\) (gt)

=> AE là đường trung trực, đường cao của tg ABI (trong tg đều đường phân giác đồng thời là đường cao, đường trung trực)

Xét tg BIE có

AE đồng thời là đường cao và đường trung trực => tg BIE cân tại E

\(\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{BIE}\) (góc ở đáy tg cân)

Ta có

\(\widehat{DBC}=\widehat{B}-\widehat{ABD}=100^o-60^o=40^o=\widehat{BIE}\)

=> \(\widehat{BEI}=180^o-\left(\widehat{DBC}+\widehat{BIE}\right)=180^o-\left(40^o+40^o\right)=100^o\)

\(\Rightarrow\widehat{IEC}=180^o-\widehat{BEI}=180^o-100^o=80^o\)

Ta có

\(\widehat{BIC}=180^o-\widehat{CID}=180^o-60^o=120^o\)

\(\Rightarrow\widehat{EIC}=\widehat{BIC}-\widehat{BIE}=120^o-40^o=80^o\)

Xét tg CIE có

\(\widehat{IEC}=\widehat{EIC}=80^o\) => tg CIE cân tại C => CE=CI (2)

Từ (1) và (2) => CE=CD