K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

3 tháng 8 2023

4S=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+...+k(k+1)(k+2).4=

=1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+k(k+1)(k+2)[(k+3)-(k-1)]=

=1.2.3.4-1.2.3.4+2.3.4.5-2.3.4.5+3.4.5.6-...-(k-1)k(k+1)(k+2)+k(k+1)(k+2)(k+3)=

=k(k+1)(k+2)(k+3)=k(k+3)(k+1)(k+2)=

=(k2+3k)(k2+3k+2)=(k2+3k)2+2(k2+3k)

=> 4S+1=(k2+3k)2+2(k2+3k)+1=[(k2+3k)+1]2

 

 S1= 1.2.3

                       S2= 2.3.4

                       S3=3.4.5

                       ...........

                       Sn = n(n+1)(n+2)

                       S= S1+S2+S3+...+Sn

  Chứng minh 4S + 1 là 1 số chính phương

11 tháng 2 2019

\(S=1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+3\cdot4\cdot5+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

\(\Rightarrow4S=1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot4+3\cdot4\cdot5\cdot4+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\cdot4\)

\(=1\cdot2\cdot3\left(4-0\right)+2\cdot3\cdot4\left(5-1\right)+3\cdot4\cdot5\left(6-2\right)+.....+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left[\left(k+3\right)-\left(k-1\right)\right]\)\(=1\cdot2\cdot3\cdot4-0\cdot1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4\cdot5-1\cdot2\cdot3\cdot4+....+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)\(=k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)\)

Ta cần chứng minh:\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)+1\) là số chính phương.

Thật vậy:\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)+1=\left[k\left(k+3\right)\right]\left[\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right]+1\)

\(=\left(k^2+3k\right)\left(k^2+3k+2\right)+1\left(1\right)\)

Đặt \(k^2+3k=t\) thì (1) sẽ trở thành:

\(t\left(t+2\right)+1=t^2+2t+1=\left(t+1\right)^2=\left(k^2+3k+1\right)^2\)

Vì \(k\in N\)nên \(\left(k^2+3k+1\right)^2\) là số chính phương hay \(4S+1\) là số chính phương.

23 tháng 4 2016

\(4S=1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot4+3\cdot4\cdot5\cdot4+...+k\cdot\left(k+1\right)\cdot\left(k+2\right)\cdot4\)

\(1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot\left(5-1\right)+3\cdot4\cdot5\cdot\left(6-2\right)+...+k\cdot\left(k+1\right)\cdot\left(k+2\right)\cdot\left[\left(k+3\right)-\left(k-1\right)\right]\)= 1*2*3*4 + 2*3*4*5 - 1*2*3*4 + 3*4*5*6 - 2*3*4*5 + ... + k*(k+1)*(k+2)*(k+3) - (k-1)*k*(k+1)*(k+2)

=k*(k+1)*(k+2)*(k+3)

Ta có : S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..... + k(k + 1)(k + 2) 

=> 4S = 1.2.3.4 - 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.5 + .... + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

= k(k + 1)(k + 2)(k + 3) 

= (k2 + 3k)(k2 + 3k + 2)

Nên :4S + 1 =   (k2 + 3k)(k2 + 3k + 2) + 1 

Đặt k2 + 3k = t 

Ta có : 4S + 1 = t(t + 2) + 1

= t+ 2t + 1 

= (t + 1)2 

Vì k thuộc N nên : k2 + 3k thuôc N <=> t + 1 = k2 + 3k + 1 thuôc N 

Vậy 4S + 1 là bình phương của 1 số tự nhiên 

9 tháng 4 2018

Ta có : C = |x-2016|+|x-2015|

=>       C = |2016-x|+|x-2015|

Áp dụng công thức : \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)(Với a;b \(\in Z\))

\(\Rightarrow C\ge\left|2016-x+x-2015\right|=1\)

Vậy dấu "=" xảy ra khi :

\(\orbr{\begin{cases}x\le2016\\x\ge2015\end{cases}}\Rightarrow x=\hept{\begin{cases}2016\\2015\end{cases}}\)

Vậy với x = 2016 hoặc x = 2015 thì C đạt GTNN = 1

11 tháng 4 2018

Ta có : 

\(S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

\(4S=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right).4\)

\(4S=1.2.3.\left(4-0\right)+2.3.4\left(5-1\right)+3.4.5\left(6-2\right)+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+1-k-1\right)\)

\(4S=1.2.3.4-1.2.3.0+2.3.4.5-2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)-\)

\(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

\(4S=\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

\(\Rightarrow\)\(4S+1=\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)+1\)

Lại có tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương ( muốn chứng minh thì mình chứng minh luôn ) 

Vậy \(4S+1\) là bình phương của một số tự nhiên 

Chúc bạn học tốt ~ 

11 tháng 4 2018

S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+k(k+1)(k+2)

=> 4S=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+...+k(k+1)(k+2).4

<=> 4S=1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5(6-2)+...+k(k+1)(k+2)[(k+3)-(k-1)]

<=> 4S=1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1).k(k+1)(k+2)(k+3)

=> 4S=k(k+1)(k+2)(k+3)

=> 4S+1=k(k+1)(k+2)(k+3)+1 = k(k+3)(k+1)(k+2)+1 = (k2+3k)(k2+3k+2)+1

Đặt: n=k2+3k 

=> 4S+1 = n(n+2)+1 = n2+2n+1 = (n+1)2

=> 4S+1 = (k2+3k+1)2

=> (4S+1) là bình phương của 1 số tự nhiên có giá trị là: (k2+3k+1)

Ví dụ: k=5 thì 4S+1=(25+15+1)2=412

5 tháng 10 2016

Bài 1

Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n ∈ N). Ta có

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1

= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)

Đặt n2 + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2 = (n2 + 3n + 1)2

Vì n ∈ N nên n2 + 3n + 1 ∈ N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.

Bài 2 : 

Ta có k(k+1)(k+2) = 1/4 k(k+1)(k+2).4 = 1/4 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]

= 1/4 k(k+1)(k+2)(k+3) - 1/4 k(k+1)(k+2)(k-1)

→ S = 1/4.1.2.3.4 - 1/4.0.1.2.3 + 1/4.2.3.4.5 - 1/4.1.2.3.4 +...+ 1/4k(k+1)(k+2)(k+3) - 1/4k(k+1)(k+2)(k-1) = 1/4k(k+1)(k+2)(k+3)

4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1

Theo kết quả bài 2 → k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính phương.

5 tháng 10 2016

chỉ mik tick một lần dc 3 cái

15 tháng 6 2015

S.4=1.2.3.4+2.3.4.4+...+k(k+1)(k+1).4

=1.2.3(4-0)+2.3.4.(5-1)+...+k(k+1)(k+2)(k+3-k-1)

=1.2.3.4-0+1.2.3.4-2.3.4.5+...+k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)

=(k-1)k(k+1)(k+2)

=>4S+1=(k-1)k(k+1)(k+2)+1

do (k-1)k(k+1)(k+2) là tích 4 số tự nhiên liên tiếp mà tích 4 số tự nhiên liên tiếp +1 luôn là số chính phương ( cái này bạn tự chứng minh )

=> 4S+1 là số chính phương (đpcm)

13 tháng 3 2017

Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 1/4. k(k + 1)(k + 2). 4
= 1/4. k(k + 1)(k + 2). [(k + 3) - (k - 1)]
= 1/4. k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 1/4. k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
=> 4S = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
= k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1
Đây là tổng của 4 số liên tiếp cộng 1 nên luôn là số chính phương.

4 tháng 9 2018

Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 1/4. k(k + 1)(k + 2). 4
= \(\frac{1}{4}\). k(k + 1)(k + 2). [(k + 3) - (k - 1)]
= \(\frac{1}{4}\). k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 1/4. k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
=> 4S = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
= k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1
Đây là tổng của 4 số liên tiếp cộng 1 nên luôn là số chính phương.

18 tháng 11 2016

Ta có : \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\frac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right).4\)

\(=\frac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left[\left(k+3\right)-\left(k-1\right)\right]\)

\(=\frac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)-\frac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k-1\right)\)

=> 4S = 1.2.3.4-0.1.2.3+2.3.4.5-1.2.3.4+...+k(k+1)(k+2)(k+3)-k(k+1)(k+2)(k-1)

\(=k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)\)

=> \(4S+1=k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)+1\)

\(=\left[k\left(k+3\right)\right]\left[\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right]+1\)
\(=\left[\left(k^2+3k\right)\left(k^2+k+2k+2\right)\right]+1\)

Đặt \(t=k^2+3k\)

\(=>4S+1=t\left(t+2\right)+1\)

= \(t^2+2t+1\)

\(=\left(t+1\right)^2\)

\(=>4S+1=\left(k^2=3k\right)^2=>4S+1\) là số chính phương