Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC có đỉnh C(-5,-6) và đường cao AH: x+2y+1=0, đường trung tuyến BM : 8x-y+4=0. Tìm toạ độ các đỉnh A,B Các bạn giúp mình nhanh với
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn A
Phân tích.
- Ta thấy A thuộc đường phân giác trong góc A:x-3y+5=0 , giờ chỉ cần viết được phương trình AC là tìm được A.
- Trên AC đã có một điểm N, cần tìm thêm một điểm nữa. Chú ý khi lấy M’ đối xứng với M qua phân giác trong ta có M’ thuộc cạnh AC.
- Tìm M’ viết được phương trình AC từ đó suy ra A. Có A, M viết được phương trình AB.
- Gọi B, C và tham số hóa dựa vào B thuộc AB, C thuộc AC. Áp dụng công thức trọng tâm sẽ tìm ra được tọa độ B, C.
Đáp án A
Phân tích.
- Ta thấy A thuộc đường phân giác trong góc A: x - 3 y + 5 = 0 giờ chỉ cần viết được phương trình AC là tìm được A.
- Trên AC đã có một điểm N, cần tìm thêm một điểm nữa. Chú ý khi lấy M’ đối xứng với M qua phân giác trong ta có M’ thuộc cạnh AC.
- Tìm M’ viết được phương trình AC từ đó suy ra A. Có A, M viết được phương trình AB.
- Gọi B, C và tham số hóa dựa vào B thuộc AB, C thuộc AC. Áp dụng công thức trọng tâm sẽ tìm ra được tọa độ B, C.
Hướng dẫn giải.
Gọi M ' ∈ A C là điểm đối xứng của M qua phân giác trong góc A, gọi I là giao điểm của MM' với phân giác trong góc A → I là trung điểm MM’.
Phương trình MM’ là: 3 x + y - 11 = 0
Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ:
M’ đối xứng với M qua
Đường thẳng AC qua N và M’ nên có phương trình:
Tọa độ A là nghiệm của hệ:
Đường thẳng AB đi qua A, M nên có phương trình:
x + y - 3 = 0
Gọi
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:
Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là:
M(x1;8x1+3); B(1/8y1+3/8;y1); N(x2;14/13x2-9/13); C(13/14y2+9/14; y2)
Theo đề, ta có: (13/14y2+4+9/14)=2x1 và y2-1=16x1+6
=>x1=13/90 và y2=-211/45
=>M(13/90; 187/45); C(-167/45; -211/45)
Theo đề, ta có:
1/8y1+3/8+4=2x2 và y1-1=2(14/13x2-9/13)
=>2x2-1/8y1=35/8 và 28/13x2-y1=-1+18/13=5/13
=>x2=5/2; y1=5
=>N(5/2;2); B(1/2;5)
Bạn coi lại đề, 2 đường thẳng xuất phát từ B nhưng lại song song với nhau, điều này hoàn toàn vô lý
goi B(a; b) N( c; d)
\(N\in\left(CN\right)\Rightarrow\)c+8d-7 = 0(1)
N la trung diem AB\(\Rightarrow2c=1+a\left(2\right)\)
2d = -3 +b (3)
B\(\in\left(BM\right)\)\(\Rightarrow\)a+b -2 =0 (4)
tu (1) (2) (3) (4) \(\Rightarrow a=-5;b=7\Rightarrow B\left(-5;7\right)\)
dt (AE) qua vuong goc BM. \(\Rightarrow pt\)(AE):x-y-4 = 0
tọa độ H \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-4=0\\x+y-2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow H\left(3;-1\right)\);H là trung điểm AE
\(\Rightarrow E\left(5;1\right)\). vì ptdt (BE) cung la ptdt qua (BC):
3x+5y-20 =0
tọa độ C là nghiệm hệ \(\left\{{}\begin{matrix}3x+5y-20=0\\x+8y-7=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{139}{21}\\\dfrac{1}{21}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow C\left(\dfrac{139}{21};\dfrac{1}{21}\right)\)
Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+1=0\\x-2y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(0;-1\right)\)
Gọi vtpt của đường thẳng CM (cũng là đường cao kẻ từ C) có tọa độ \(\left(a;b\right)\)
H là chân đường cao kẻ từ B
\(cos\widehat{HBC}=\dfrac{\left|1.1+1.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{1^2+1^2}.\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)
\(\Rightarrow cos\widehat{MCB}=cos\widehat{HBC}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\left|a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{1^2+1^2}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5}\left|a+b\right|\Leftrightarrow a^2+b^2=5\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+5ab+2b^2=0\Leftrightarrow\left(a+2b\right)\left(2a+b\right)=0\)
Chọn \(\left(a;b\right)=\left[{}\begin{matrix}\left(2;-1\right)\\\left(1;-2\right)\end{matrix}\right.\) (trường hợp (1;-2) loại do song song BH)
\(\Rightarrow\) Phương trình đường cao kẻ từ C:
\(2\left(x-2\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x-y-3=0\)
Tọa độ C là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+1=0\\2x-y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(...\right)\)
Gọi N là trung điểm BC \(\Rightarrow\) tọa độ N
Tam giác ABC cân tại A \(\Rightarrow\) AN là trung tuyến đồng thời là đường cao
\(\Rightarrow\) Đường thẳng AN vuông góc BC \(\Rightarrow\) nhận (1;-1) là 1 vtpt và đi qua N
\(\Rightarrow\) Phương trình AN
Đường thẳng AB vuông góc CM nên nhận (1;2) là 1 vtpt
\(\Rightarrow\) Phương trình AB (đi qua B và biết vtpt)
\(\Rightarrow\) Tọa độ A là giao điểm AB và AN
\(M=\left(m;8m+4\right)\) là trung điểm AC.
\(\Rightarrow A=\left(2m+5;16m+14\right)\)
Mà \(A\in AH\Rightarrow2m+5+2\left(16m+14\right)+1=0\)
\(\Rightarrow m=-1\)
\(\Rightarrow A=\left(3;-2\right)\)
Đường thẳng BC đi qua \(C=\left(-5;-6\right)\) và vuông góc AH có phương trình:
\(2x-y+4=0\)
B có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}8x-y+4=0\\2x-y+4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=4\end{matrix}\right.\Rightarrow B=\left(0;4\right)\)