cho a,b,c,d >0
cm: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\ge\frac{64}{a+b+c+d}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 2 2017
Áp dụng BĐT Cauchy -Schwarz dạng cộng mẫu thôi:
\(\text{VT}=\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d}\geq \frac{(1+1+2+4)^2}{a+b+c+d}=\frac{64}{a+b+c+d}=\text{VP}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=\frac{c}{2}=\frac{d}{4}>0\)
DP
1
TN
1 tháng 3 2017
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}=\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwar dạng Engel ta có:
\(\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d}\ge\frac{\left(1+1+2+4\right)^2}{a+b+c+d}\)
\(=\frac{8^2}{a+b+c+d}=\frac{64}{a+b+c+d}=VP\)
NN
14 tháng 11 2016
áp dụng bất đẳng thức:\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)=>\(\frac{4}{a+b}\)(áp dụng 2 cái đầu trc,rồi lấy KQ đó áp dụng típ vào cái thứ 3,rồi cái cuối
15 tháng 11 2016
Ta có
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\ge\frac{\left(1+1+2+4\right)^2}{a+b+c+d}=\frac{64}{a+b+c+d}\)
9 tháng 1 2020
áp dụng bất đẳng thức Cauchy-schwaz
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d}\)=\(\frac{16}{a+b+c+d}\)(đpcm)
16 tháng 8 2019
Làm tạm một câu rồi đi chơi, lát làm cho.
4)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :
\(VT\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1}=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 3 2019
a/ Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)
\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)
\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
6 tháng 1 2015
áp dụng bđt này nhé: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\text{≥ }\frac{4}{x+y}\)
ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\text{≥ }\frac{4}{a+b}+\frac{4}{c+d}\text{= }4.\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}\right)\text{\text{≥ }}4.\frac{4}{a+b+c+d}=\frac{16}{a+b+c+d}\)
6 tháng 1 2015
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\text{≥ }\frac{4}{a+b}+\frac{4}{c+d}\)
=\(4.\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}\right)\text{≥ }4.\frac{4}{a+b+c+d}\)
=\(\frac{16}{a+b+c+d}\)
21 tháng 7 2020
Áp dụng bđt Cosi ta có: \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2;\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2;\frac{c^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge2\)\(;\frac{d^2}{d+a}+\frac{d+a}{4}\ge2\)
Cộng theo vế và a+b+c+d=1 ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2}{a+b}=\frac{a+b}{4};\frac{b^2}{b+c}=\frac{b+c}{4};\frac{c^2}{c+d}=\frac{c+d}{4};\frac{d^2}{d+a}=\frac{d+a}{4}\\\\a=b=c=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
T
1 tháng 8 2016
có thể áp dụng luôn công thức tổng quát của btp nhé
Tổng quát \(\frac{a_1^2}{x_1}+\frac{a_2^2}{x_2}+...+\frac{a_n^2}{x_n}\ge\frac{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2}{x_1+x_2+...+x_n}\)(với x1,x2,...xn >0 )
phải c/m nhé
T
1 tháng 8 2016
BTP :\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)(với mọi abxy, x,y>0) đây còn đc cọi bđt cauchy schwarz )
c/m k có gì khó. nhân chéo quy đồng ( tự c/m nhé )
Đặt \(A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\)
Áp dụng liên tục btp ta được \(A\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d}\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}+\frac{4^2}{d}\ge\frac{\left(1+1+2+4\right)^2}{a+b+c+d}=\frac{64}{a+b+c+d}\)(dpcm)
dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c/2=d/4
áp dụng bđt \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)(bđt svacxo) ta có :
VT= \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\ge\frac{\left(1+1+2+4\right)^2}{a+b+c+d}\)= \(\frac{64}{a+b+c+d}\)=VP (đpcm)
dấu = xảy ra <=>a=b=1; c=2 ; d=4
Dễ dàng CM BĐT phụ sau: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b},\forall a,b>0\)
Áp dụng liên tục ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\ge4.\frac{4}{a+b+c}+\frac{16}{d}\ge16.\frac{4}{a+b+c+d}=\frac{64}{a+b+c+d}\)
dấu = xảy ra <=> a+b=c, a+b+c=d, a=b
ĐPCM