Cho 2 bộ số a,b,c thỏa mãn a+b+c=0. CMR:
\(2\left(a^7+b^7+c^7\right)=7abc.\left(a^4+b^4+c^4\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 4 2021
BĐT này do giáo sư Vasile đề xuất, và đây là lời giải của ông ấy:
Do vai trò của các biến là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(a^2=max\left\{a^2;b^2;c^2;d^2\right\}\)
\(\Rightarrow a^2\ge\dfrac{b^2+c^2+d^2}{3}\)
Đặt \(x^2=\dfrac{b^2+c^2+d^2}{3}\Rightarrow x^2\le a^2\) (1)
Đồng thời \(x^2=\dfrac{b^2+c^2+d^2}{3}\ge\dfrac{1}{9}\left(b+c+d\right)^2=\dfrac{a^2}{9}\Rightarrow a^2\le9x^2\) (2)
\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left(a^2-x^2\right)\left(a^2-9x^2\right)\le0\) (3)
Ta có:
\(b^4+c^4+d^4=\left(b^2+c^2+d^2\right)^2-2\left(b^2c^2+c^2d^2+b^2d^2\right)\le\left(b^2+c^2+d^2\right)^2-\dfrac{2}{3}\left(bc+cd+bd\right)^2\)
\(=\left(b^2+c^2+d^2\right)^2-\dfrac{1}{6}\left[\left(b+c+d\right)^2-\left(b^2+c^2+d^2\right)\right]^2=9x^4-\dfrac{1}{6}\left(a^2-3x^2\right)^2=\dfrac{45x^4+6a^2x^2-a^4}{6}\)
Do đó:
\(12\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\le12a^4+12.\dfrac{45x^4+6a^2x^2-a^4}{6}=90x^4+12a^2x^2+10a^4\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(7\left(a^2+3x^2\right)^2\ge90x^4+12a^2x^2+10a^4\)
\(\Leftrightarrow a^4-10a^2x^2+9x^4\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-9x^2\right)\left(a^2-x^2\right)\le0\) (đúng theo (3))
Vậy BĐT được chứng minh hoàn tất.
Dấu "=" xảy ra khi \(b=c=d=-\dfrac{a}{3}\) và các hoán vị của chúng
28 tháng 4 2019
Hmm , bài này trông quen quen , trong cuốn "các bài giảng về bđt Cô-si" của Phạm Văn Hùng ; Nguyễn Vũ Lương , Nguyễn Ngọc Thắng thì phải . Mình đọc rồi mà quên mất tiêu =( Để nghĩ lại coi nha
28 tháng 4 2019
Bạn ơi , mình không có quyển đó, bạn cố nhớ lại giúp mình với , huhu , thứ 6 là mình phải nộp rồi
6 tháng 1 2020
Nhận xét:Ghi nhớ tam giác Pascal cho bậc 4:\(1\rightarrow4\rightarrow6\rightarrow4\rightarrow1\)
cần cù bù thông minh :)
\(a^2+b^2+\left(a-b\right)^2=c^2+d^2+\left(c-d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2-2ab+b^2=c^2+d^2+c^2-2cd+d^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2=c^2-cd+d^2\)
\(\Rightarrow\left(a^2-ab+b^2\right)^2=\left(c^2-cd+d^2\right)^2\) ( mạnh dạn bình phương )
\(\Leftrightarrow a^4+a^2b^2+b^4-2a^3b-2ab^3+2a^2b^2=c^4+c^2d^2+d^4-2c^3d-2cd^3+2c^2d^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+3a^2b^2+b^4-2a^3b-2ab^3=c^4+3c^2d^2+d^4-2c^3d-2cd^3\left(1\right)\)
Mặt khác:
\(a^4+b^4+\left(a-b\right)^4\)
\(=a^4+b^4+a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4\)
\(=2\left(a^4-2a^3b-2ab^3+3a^2b^2\right)\left(2\right)\)
Tương tự:
\(c^4+d^4+\left(c-d\right)^4=2\left(c^4-2c^3d-2cd^3+3c^2d^2\right)\left(3\right)\)
Từ ( 1 );( 2 );( 3 ) suy ra đpcm
16 tháng 11 2018
\(\frac{a^4}{\left(a^2-b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2-c^2\right)}=\frac{a^4}{\left[\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c^2\right]\left[\left(a-c\right)\left(a+c\right)+b^2\right]}\)
\(\frac{a^4}{\left[-c\left(a-b\right)+c^2\right]\left[-b\left(a-c\right)+b^2\right]}=\frac{a^4}{4bc\left(b+c\right)^2}=\frac{a^4}{4a^2bc}\)
Tương tự với 2 phân thức còn lại, ta cũng có : \(\frac{b^4}{b^4-\left(c^2-a^2\right)^2}=\frac{b^4}{4ab^2c};\frac{c^4}{c^4-\left(a^2-b^2\right)^2}=\frac{c^4}{4abc^2}\)
\(VT=\frac{a^4}{4a^2bc}+\frac{b^4}{4ab^2c}+\frac{c^4}{4abc^2}=\frac{a^4bc+ab^4c+abc^4}{4a^2b^2c^2}=\frac{abc\left(a^3+b^3+c^3\right)}{4a^2b^2c^2}\)
\(VT=\frac{a^3+b^3+c^3}{4abc}\)
Mà \(a+b+c=0\) nên \(a^3+b^3+c^3=3abc\) ( tự cm )
\(\Rightarrow\)\(VT=\frac{3abc}{4abc}=\frac{3}{4}\) ( đpcm )
Chúc bạn học tốt ~
21 tháng 1 2020
Ta có:
12(3a2 + 3b2 - 7a - 7b + 4) = 0
<=> (6a - 7)2 + (6b - 7)2 = 50
<=> (6a - 7, 6b - 7) = (1, 49; 49, 1; 25, 25)
Ta có
\(\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)=\)
\(=a^7+a^4b^3+a^4c^3+a^3b^4+b^7+b^4c^3+a^3c^4+b^3c^4+c^7\)
\(\Rightarrow\left(a^7+b^7+c^7\right)=\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)-a^3b^3\left(a+b\right)-b^3c^3\left(b+c\right)-a^3c^3\left(a+c\right)=\)
Do a+b+c=0
\(\Rightarrow a+b=-c;b+c=-a;a+c=-b\)
\(=\left(a^7+b^7+c^7\right)=\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+a^3b^3c+b^3c^3a+a^3c^3b=\)
\(=\left(a^4+b^4+c^4\right)\left[\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3\right]+abc\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=\)
\(=\left(a^4+b^4+c^4\right).3abc+abc\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=\)
\(=abc.\left[3\left(a^4+b^4+c^4\right)+a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right]\) (1)
Mà
\(a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=\)
\(=\left[\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ac\right)\right]^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=\)
\(=4\left(ab+bc+ca\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=\)
\(=4\left[\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2ab^2c+2abc^2+2a^2bc\right)\right]-2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=\)
\(=2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)+8abc\left(a+b+c\right)=\)
\(=2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2b^2\right)\)
\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2b^2=\dfrac{a^4+b^4+c^4}{2}\) Thay vào (1) ta có
\(a^7+b^7+c^7=abc.\left[3\left(a^4+b^4+c^4\right)+\dfrac{a^4+b^4+c^4}{2}\right]=\)
\(=7.abc.\dfrac{a^4+b^4+c^4}{2}\)
\(\Rightarrow2\left(a^7+b^7+c^7\right)=7.abc.\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(đpcm\right)\)