Cho A=1+ 1/2+ 1/3+ 1/4+ ...+1/100.Hãy chứng minh rằng tổng A không là số tự nhiên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
H
29 tháng 3 2021
https://hoc247.net/hoi-dap/toan-6/chung-minh-a-1-1-2-1-3-1-100-khong-phai-so-tu-nhien-faq442360.html
Em tk trang đó nha
DT
Đỗ Thanh Hải
CTVVIP
29 tháng 3 2021
Ta có
\(A=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{100}\)
=> A > 1 do \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{100}\ne0\)
\(\dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{100}\)
\(\dfrac{1}{3}>\dfrac{1}{100}\)
................
\(\dfrac{1}{100}=\dfrac{1}{100}\)
=> \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{100}>\dfrac{1}{100}.99\) (do dãy có 99 số) = \(\dfrac{99}{100}\)
=> A < \(1+\dfrac{99}{100}< 1+\dfrac{100}{100}=1+1=2\)
=> 1 < A < 2
Vậy A không phải số tự nhiên
PT
1
OA
1
S
21 tháng 3 2020
\(A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}=\frac{2.3....100+1.3.....100+1.2.4.....100+....+1.2....99}{1.2.3....100}\)
\(\text{Trên tử có số hạng:}1.2.3....98.100\text{ không chia hết cho 99 còn các số hạng khác đều chia hết cho 99}\)
\(\text{nên tử không chia hết cho 99(1) mà mẫu:}1.2.3....99.100\text{ có thừa số 99 nên chia hết cho 99(1)}\)
\(\text{Từ (1) và (2) suy ra: A}\notinℕ\)
DD
9 tháng 8 2016
Để quy đồng mẫu các phân số trong tổng A = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/100, ta chọn mẫu chung là tích của 2^6 với các thừa số lẻ nhỏ hơn 100. Gọi k1,k2,... k100 là các thừa số phụ tương ứng, tổng A có dạng: B=(k1+k2+k3+...+k100)/(2^6.3.5.7....99).
Trong 100 phân số của tổng A chỉ có duy nhất phân số 1/64 có mẫu chứa 2^6 nên trong các thừa số phụ k1,k2,...k100 chỉ có k64 (thừa số phụ của 1/64) là số lẻ (bằng 3.5.7....99), còn các thừa số phụ khác đều chẵn (vì chứa ít nhất một thừa số 2). Phân số B có mẫu chia hết cho 2 còn tử không chia hết cho 2, do đó B (tức là A) không thể là số tự nhiên.
Ngoài ra với trường hợp tổng quát, hạng tử cuối là 1/n (n là số tự nhiên), ta chọn mẫu chung là 2^k với các thừa số lẻ không vượt quá n, trong đó k là số lớn nhất mà 2^k <= n. Chỉ có thừa số phụ của 1/2^k là số lẻ còn các thừa số phụ khác đều chẵn.
Còn cách giải khác nữa cùng trong sách Nâng cao và phát triển Toán 6 tập hai bạn có thể tham khảo thêm nhé. Chúc bạn học giỏi!
Xét 1/2 + 1/3 + 1/4
1/2 + 1/4 = (2+4)/(2.4) = 2.3/[(3-1)(3+1)] = 2.3/(3^2 - 1) > 2.3/3^2 = 2/3 = 2.(1/3)
---> 1/2+1/3+1/4 > 3.(1/3) = 1 (1)
Lại xét 1/5 + 1/6 + ... + 1/9 + ... + 1/13
1/8+1/10 = (8+10)/(8.10) = 2.9/(9^2 - 1) > 2.9/9^2 = 2/9 = 2.(1/9)
Tương tự cm được 1/7+1/11 > 2.(1/9) ; 1/6+1/12 > 2.1/9; ...; 1/5+1/13 > 2.1/9
---> 1/5+1/6+ ... + 1/13 > 9.(1/9) = 1 (2)
Tiếp tục xài chiêu đó, cm được 1/14+1/15+ ... + 1/38 > 25.(1/25) = 1 (3)
(1),(2),(3) ---> a > 3 (*)
Mặt khác
1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 (4)
1/4 + 1/5 + 1/20 = 1/2 (5)
1/7 + 1/8 + 1/9 < 3.(1/7) = 3/7 (6)
1/10+1/11+ ...+1/14 < 5.(1/10) = 1/2 (7)
1/15+1/16+ ...+1/19 < 5.(1/15) = 1/3 (8)
1/21+1/22+ ...+1/26 < 6.(1/21) = 2/7 (9)
1/27+1/28+ ...+1/50 < 24.(1/27) = 8/9 (10)
Cộng (4),(5),(6),(7), (8),(9),(10) ---> a < 2 + 5/7 + 11/9 < 2 + 7/9 + 11/9 = 4 (**)
Từ (*) và (**) ---> 3 < c < 4 ---> a ko phải là số tự nhiên.
====================================
Cách khác (tổng quát hơn, trừu tượng hơn)
Quy đồng mẫu số :
Chọn mẫu số chung là M = BCNN(2;3;4;...;50) = k.2^5 = 32k (k là số tự nhiên lẻ)
Đặt T2 = M/2; T3 = M/3; ...; T50 = M/50
---> a = (T2+T3+ ... + T50) / M
Chú ý rằng T2,T3,...,T50 đều chẵn, chỉ riêng T32 = M/32 = k là lẻ, còn M chẵn
---> T2+T3+...T50 lẻ.Số lẻ ko thể là bội của số chẵn ---> c ko phải là số tự nhiên.
NT
2
8 tháng 2 2015
tính nhanh tổng a ta thấy tổng là phân số vậy thì quá rõ
TA
8 tháng 4 2015
Đặt mẫu số chung là: 2^6.3^4.....97
Thừa số phụ của các thừa số tương ứng là k1, k2, k3,..., k99.
Khi đó A= k1+k2+...+k99/2^6.3^4.....97
Ta thấy mẫu số chung của A là tích của các thừa số nguyên tố trong đó có thừa số 2 với 2^6 lớn nhất. Đặt mẫu số chung là 2^6.P (P là tích các thừa số nguyên tố lẻ không vượt quá 100). Trong tất cả các thừa số phụ của các p/s, chỉ có duy nhất thừa số phụ của p/s 1/64=1/2^6 là số lẻ còn tất cả các thừa số phụ còn lại đều là chẵn. Nên khi thực hiện phép tính thì mẫu số chắn còn tử số lẻ => A ko phải số tự nhiên
ML
9 tháng 3 2017
Để quy đồng các mẫu của các phân số trong tổng A = \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}\), ta chọn mẫu chung là tích của 26 với các thừa số lẻ nhỏ hơn 100 . Gọi k1 , k2 , ... k100 là các thừa số phụ tương ứng , tổng A có dạng : B = \(\frac{\left(k1+k2+k3+...+k100\right)}{2^6.3.5.7....99}\)
Trong 100 phân số của tổng A chỉ có duy nhất phân số \(\frac{1}{64}\)có mẫu chứa 26 nên trong các thừa số phụ k1 , k2 , ... , k100 chỉ có k64 ( thừa số phụ của \(\frac{1}{64}\)) là số lẻ ( bằng 3.5.7...99 ) , còn các thừa số phụ khác đều chẵn ( vì chứa ít nhất một thừa số 2 ) do đó B ( tức là A ) không thể là số tự nhiên
HT
21 tháng 7 2015
Gọi 3 số đó là a; a+1; a+2. Ta có:
a + (a+1) + (a+2)
= a+a+a+1+2
= 3a +3
= 3(a+1) chia hết cho 3
=> Tổng 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 (Đpcm)
Gọi 4 số đó là n; n+1; n+2; n+3. Ta có:
n + (n+1) + (n+2) + (n+3)
= n+n+n+n+1+2+3
= 4n +6
Vì 4n chia hết cho 4 mà 6 chia 4 dư 2
=> 4n+6 chia 4 dư 2
=> Tổng 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4 (Đpcm)
KM
18 tháng 3 2017
bạn chỉ cần lấy 1/100-1 là sẽ ra
nhớ tích và kết bạn với tớ nhé