Question

[Thảo Nguyên]

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB < AC và AB < BC) nội tiếp đường tròn (O;R) có 2 đường cao AD và BE cắt nhau tại H, CH cắt AB tại F.
 1/ Chứng minh: tứ giác BFEC nội tiếp trong 1 đường tròn, xác định tâm I đường tròn này

2/ Chứng minh: FC là tia phân giác góc EFD và AF.AB = AE.AC

3/ EF cắt BC tại S. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (I) cắt FC và AS lần lượt tại P và M.Chứng minh: ME là tiếp tuyến của (I)

 4/. Đường thẳng qua D song song với BE cắt BM tại N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

        tam giác MNE cắt BE tại điểm thứ hai là K. Đường thẳng qua B song song với AC cắt

        DF tại Q. Chứng minh: OK _|_ PQ               

Answer 1

[ミ★Zero ❄ ( Hoàng Nhật )]

a, Tứ giác BFEC có : \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\), 2 góc này cùng nhìn cạnh BC

=> Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn tâm I , với I là trung điểm của BC và đường kính bằng BC

b, Xét tứ giác BFHD có : \(\widehat{BFH}+\widehat{BDH}=180^0\)

=> BFHD là tứ giác nội tiếp => \(\widehat{BHF}=\widehat{BDF}\)( tính chất 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn xuống cạnh đối diện )

mà \(\widehat{BHF}+\widehat{BHC}=180^0\), \(\widehat{BDF}+\widehat{FDC}=180^0\)

=> \(\widehat{FDC}=\widehat{BHC}\)

Xét \(\Delta BHC\)và \(\Delta FDC\)có :

\(\widehat{C}\)chung

\(\widehat{FDC}=\widehat{BHC}\)

=> \(\widehat{CFD}=\widehat{HBC}\)

Lại có : Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn => \(\widehat{EBC}=\widehat{EFC\:}\)( tính chất 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn xuống cạnh đối diện )

= > \(\widehat{CFD}=\widehat{EBC}\)( hay \(\widehat{HBC}\)) \(=\widehat{EFC\:}\)= > FC là tia phân giác của góc EFD

+, Xét \(\Delta ABE\)và \(\Delta ACF\)có :

\(\widehat{A}\)chung

\(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^0\)

= > 2 tam giác này đồng dạng = > \(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)\(\Rightarrow AE.AC=AF.AB\)

Answer 2

[Nguyễn Huy Tú]

1, Xét tứ giác BFEC có 

^BFC = ^BEC = 90⁰

mà 2 góc này kề, cùng nhìn cạnh BC 

Vậy tứ giác BFEC là tứ giác nt 1 đường tròn 

tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC là trung điểm BC hay I là trung điểm cạnh BC 

2, Xét tứ giác AEFH có ^AFH + ^AEH = 180⁰

mà 2 góc này đối 

Vậy tứ giác AEHF là tứ giác nt 1 đường tròn 

=> ^HFE = ^HAE ( góc nt chắn cung HE ) 

Xét tứ giác AFDC có 

^AFC = ^ADC = 90⁰

mà 2 góc kề, cùng nhìn cạnh CA 

Vậy tứ giác AFDC là tứ giác nt 1 đường tròn 

=> ^CAD = ^CFD ( góc nt chắn cung DC ) 

=> ^EFC = ^CED => FC là phân giác ^DFE 

Xét tam giác AFE và tam giác ACB có 

^A _ chung ; ^AFE = ^ACB ( góc ngoài đỉnh F của tứ giác BFEC ) 

Vậy tam giác AFE ~ tam giác ACB (g.g) 

\(\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}\Rightarrow AF.AB=AE.AC\)